2008-山东卷理-11 单-圆

本题导读

本题考查圆的几何性质与几何图形面积的点算。解题关键在于明确过圆内定点的“最长弦为直径”以及“最短弦垂直于该点与圆心的连线”这一几何规律，进而利用对角线互相垂直的四边形面积公式快速求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 已知圆的方程为 $x^2+y^2-6x-8y=0$.设该圆过点 $(3,5)$ 的最长弦和最短弦分别为 $AC$ 和 $BD$，则四边形 $ABCD$ 的面积为 ()

A. $10\sqrt{6}$　　　　　　B. $20\sqrt{6}$　　　　　　C. $30\sqrt{6}$　　　　　　D. $40\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程化为标准方程，明确圆心坐标与半径大小。
2. 判断定点与圆心的相对位置。最长弦 $AC$ 即为直径；最短弦 $BD$ 必须垂直于圆心与定点的连线，利用垂径定理勾股弦长公式求出 $BD$ 长度。
3. 观察到最长弦与最短弦互相垂直，利用对角线互相垂直的四边形面积公式 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$ 求出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将圆的一般方程 $x^2+y^2-6x-8y=0$ 化为标准方程得： $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$ 其圆心为 $M(3,4)$，半径 $R=5$。 记已知定点为 $P(3,5)$，显然点 $P$ 在圆的内部。

• 过点 $P$ 的最长弦 $AC$ 必过圆心 $M$，即为圆的直径，故 $|AC|=2R=10$；
• 过点 $P$ 的最短弦 $BD$ 必与垂直于线段 $MP$。 因为 $|MP|=\sqrt{(3-3{)}^2+(5-4{)}^2}=1$， 根据垂径定理，最短弦长的一半为 $\sqrt{R^2-|MP{|}^2}=\sqrt{25-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$， 所以最短弦长 $|BD|=2\times 2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$。 因为直线 $AC$ 经过圆心 $M$ 和点 $P$，且直线 $BD\perp MP$，所以两条弦满足 $AC\perp BD$。 对角线互相垂直的四边形 $ABCD$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{1}{2}\times 10\times 4\sqrt{6}=20\sqrt{6}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆中弦长的几何极值性质，垂径定理与勾股定理的代数应用。
2. 核心方法：纯几何法。相比于联立方程用弦长公式求解，直接借助几何图形的垂直关系计算高效且不易出错。
3. 避坑指南：计算最短弦长时容易忘记乘以 2，垂径定理算出的仅为半弦长，漏乘 2 会错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于平面几何中“过圆内一点的所有弦中，垂直于心连线的弦最短，过心连线的弦最长”这一经典数理定理。
2. 结论推广: 过圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 内一点 $P$ 的最长弦与最短弦所构成的四边形，其对角线必然垂直，面积通式为 $S=2R\sqrt{R^2-|MP{|}^2}$（其中 $M$ 为圆心）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位