2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值

本题导读

顶点 $(0,0)$、$(20,0)$、$(10,20)$、$(0,25)$，$z$ 值 $0$、$60$、$70$、$50$，最大 $70$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x+y⩽40,\\ x+2y⩽50,\\ x⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$则 $z=3x+2y$ 的最大值是　　　.

🔍【思路分析】

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两直线交点 $(10,20)$ 是最上方的顶点；线性目标函数最值只可能在顶点取得，逐点代入.

✅【答案】

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$70$

✍【详细解析】

Abstract

可行域的顶点为 $(0,0)$，$(20,0)$，$(10,20)$，$(0,25)$．在这些顶点处，$z=3x+2y$ 的值分别为 $0$，$60$，$70$，$50$．线性目标函数的最大值在可行域顶点处取得，所以最大值为 $70$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划

核心方法：可行域顶点逐一代入目标函数，最大值在顶点取得

避坑指南：两直线交点 $(10,20)$ 别解错：$2x+y=40$ 与 $x+2y=50$ 联立；只代三个明显顶点漏掉交点会误选 $60$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与线性目标函数，教材线性规划章节原型

结论推广：目标函数最值必在可行域顶点取得（线性函数的凸性）

方法推广：顶点法通用流程：联立解交点 → 逐点代入 → 取最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用
• 2014-广东卷理-03 单-线性规划
• 2012-广东卷理-20 解-椭圆