2008-广东卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组构成的封闭区域内，线性目标函数的最大值问题。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x+y\le 40\\ x+2y\le 50\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是 ()

A. 90　　　　　　　B. 80　　　　　　　C. 70　　　　　　　D. 40

🔍【思路分析】

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1. 确定不等式组表示的可行域。
2. 将目标函数变形为斜截式，分析截距的几何意义与变化趋势。
3. 确定最优解对应的顶点，联立方程组求出该点坐标并代入计算最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件画出可行域，其为一个在第一象限内的封闭多边形区域。 目标函数为 $z=3x+2y$，可化为 $y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$。 当直线平移经过可行域内两条边界直线 $2x+y=40$ 与 $x+2y=50$ 的交点时，纵截距 $\frac{z}{2}$ 最大，此时 $z$ 取得最大值。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}2x+y=40\\ x+2y=50\end{array}$ 解得交点坐标为 $(10,20)$。 将点 $(10,20)$ 代入目标函数得： $z_{\max }=3\times 10+2\times 20=70$。 正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的可行域确定与目标函数的几何意义。
2. 核心方法：图解平移直线法；若可行域为凸多边形且目标函数为线性，最值必在顶点处取得，亦可采用顶点代入比较法。
3. 避坑指南：画图时注意直线的斜率大小比较（如 $-\frac{3}{2}$ 与 $-2$、$-\frac{1}{2}$ 的大小关系），防止找错最优解对应的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 典型的双变量平面线性规划问题，属于高考大纲内的标准核心题型。
2. 结论推广: 对于两约束条件 $Ax+By\le C_1$ 与 $Dx+Ey\le C_2$ 构成的第一象限区域，若目标函数系数比介于两直线斜率之间，则最优解必在两直线交点处。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划