2008-广东卷理-12 填-三角恒等

本题导读

本题考查三角函数的性质。解题的核心是通过三角恒等变换将复杂的函数解析式化简为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的标准形式，再由周期公式求解。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=(\sin x-\cos x)\sin x,x\in \mathbf{R}$, 则 $f(x)$ 的最小正周期是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开函数表达式得 ${\sin }^{2}x-\sin x\cos x$。
2. 利用二倍角公式的降幂公式与正弦二倍角公式进行化简。
3. 归纳为标准简谐形函数，读取角频率 $\omega$，由 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 得到周期。

✅【答案】

点击查看答案

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

展开函数解析式： $f(x)={\sin }^{2}x-\sin x\cos x$ 利用二倍角公式：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$， 代入原式得： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(\sin 2x+\cos 2x)$ 利用辅助角公式进一步化简： $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 由此可确定函数的角频率 $\omega =2$。 则最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

正确答案为：$\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式及降幂公式的应用；正弦型函数周期的求法。
2. 核心方法：由繁化简的三角恒等变换法。
3. 避坑指南：变形过程中需准确应用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 及 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，注意系数 $\frac{1}{2}$ 不要漏乘或算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材三角函数复习章节中“三角恒等变换与函数性质”的综合性练习题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=(a\sin x+b\cos x)\sin x$ 的最小正周期恒为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数