2008-广东卷理-14 填-绝对值不等式

本题导读

本题是一道代数综合题。通过一元二次方程有实根的条件，转化为关于参数 $a$ 的绝对值不等式，进而借助绝对值的几何意义求解范围。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，若关于 $x$ 的方程 $x^2+x+\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=0$ 有实根，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程有实根，说明其判别式 $\Delta \ge 0$。
2. 根据判别式列出关于 $a$ 的不等式，分离出含有绝对值的整体 $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|\le \frac{1}{4}$。
3. 利用绝对值的三角不等式性质 $\left|x\right|+\left|y\right|\ge \left|x-y\right|$ 确定该绝对值式的最小值，从而锁定参数 $a$ 的取值区间。

✅【答案】

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$\left[0,\frac{1}{4}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

关于 $x$ 的方程 $x^2+x+\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=0$ 有实根， 则其判别式满足： $\Delta =1^2-4\times 1\times \left(\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|\right)\ge 0$ 化简得： $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|\le \frac{1}{4}$

根据绝对值的三角不等式性质，有： $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=\left|\frac{1}{4}-a\right|+|a|\ge \left|\left(\frac{1}{4}-a\right)+a\right|=\frac{1}{4}$ 要使 $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|\le \frac{1}{4}$ 成立，该绝对值式必须取得最小值 $\frac{1}{4}$， 即 $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=\frac{1}{4}$。

根据绝对值不小于两数之和（或几何意义中点到两定点的距离之和等于定长），此时未知数 $a$ 必须夹在 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 之间，即： $0\le a\le \frac{1}{4}$

正确答案为：$\left[0,\frac{1}{4}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次方程有实根的充要条件 $\Delta \ge 0$；绝对值不等式 $|x-m|+|x-n|=|m-n|$ 的解集结构。
2. 核心方法：利用绝对值的几何意义，将距离之和最小化转化为数轴上的线段夹逼。
3. 避坑指南：在得到 $\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|\le \frac{1}{4}$ 后，若盲目分区间讨论（如 $a<0$、$0\le a\le \frac{1}{4}$、$a>\frac{1}{4}$）过程较为繁琐，直接使用三角不等式取等条件可迅速破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 融合了代数方程根的判别式与选修板块“绝对值不等式”的内容，属于基础创新题。
2. 结论推广: 若方程 $x^2+kx+|a-m|+|a-n|=0$ 有实根，则参数 $a$ 有解的充要条件为 $\frac{k^2}{4}\ge |m-n|$，此时 $a$ 的取值范围为 $[m,n]$（假设 $m<n$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式