2008-广东卷理-16 解-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的图象与解析式求解，以及两角差的余弦公式的综合应用。第一问利用最值和特殊点确定解析式，第二问利用同角三角函数关系及和差角公式求值。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\sin (x+\phi )$（$A>0,0<\phi <\pi$），$x\in \mathbf{R}$ 的最大值是 1，其图象经过点 $M\left(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}\right)$.

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)已知 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，且 $f(\alpha )=\frac{3}{5},f(\beta )=\frac{12}{13}$，求 $f(\alpha -\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)步：由最大值确定振幅 $A$，代入已知点 $M$ 建立关于 $\phi$ 的方程，结合 $\phi$ 的取值范围确定其值，从而得到解析式。
2. 第(2)步：将解析式转化为余弦函数，求得 $\cos \alpha$ 和 $\cos \beta$，结合两角范围，利用同角三角函数平方关系求出 $\sin \alpha$ 和 $\sin \beta$，最后展开 $f(\alpha -\beta )=\cos (\alpha -\beta )$ 代入计算。

✅【答案】

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（1）由于𝐴>0，函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝑥+𝜑)的最大值为𝐴，所以𝐴=1.又sin(π3+𝜑)=1

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $f(x)$ 的最大值是 1，且 $A>0$，所以 $A=1$。 则 $f(x)=\sin (x+\phi )$。

由于函数图象经过点 $M\left(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}\right)$， 所以 $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\phi \right)=\frac{1}{2}$。

因为 $0<\phi <\pi$，所以 $\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{3}+\phi <\frac{4\pi }{3}$。 由此可得： $\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{5\pi }{6}⟹\phi =\frac{\pi }{2}$

故函数 $f(x)$ 的解析式为： $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$

(2)解： 由(1)可知 $f(x)=\cos x$。 所以 $\cos \alpha =\frac{3}{5},\cos \beta =\frac{12}{13}$。

因为 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\sin \alpha >0,\sin \beta >0$。 由同角三角函数平方关系得： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$ $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}$

从而： $f(\alpha -\beta )=\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 代入数据得： $f(\alpha -\beta )=\frac{3}{5}\times \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\times \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由性质确定三角函数解析式；诱导公式 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$；两角差的余弦公式。
2. 核心方法：范围缩放与精准截取法（根据给定的角度区间缩放出复合角的范围，从而实现唯一去三角化）。
3. 避坑指南：第(1)问中解 $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\phi \right)=\frac{1}{2}$ 时易漏掉范围限制导致求出 $\phi =-\frac{\pi }{6}$ 的错误解；第(2)问开方求正弦值时必须先根据象限判定符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自课本三角函数恒等变换章节的经典大题。通过两步走的形式，既考查了图象变换和解析式确定，又考查了基本的给值求值计算。
2. 结论推广: 针对函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，当 $\omega =1$ 时，经过特殊变换可以与余弦恒等式无缝衔接。此类给值求值题型，通法是“已知角”对“所求角”进行合理的拆分与组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数