2008-新课标卷文-08 单-等比数列求和比

本题导读

考查等比数列基本量。$q=2$ 时 $S_4=15a_1$，$a_2=2a_1$，故 $\frac{S_4}{a_2}=\frac{15}{2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=2$，前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $\frac{S_4}{a_2}=$()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $\frac{15}{2}$　　　　　　　D. $\frac{17}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 用首项 $a_1$ 表示 $S_4$ 和 $a_2$。
2. 代入求和公式与通项公式。
3. 相除化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

等比数列前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，$q=2$ 时 $S_4=\frac{a_1(1-2^4)}{1-2}=\frac{a_1(1-16)}{-1}=15a_1.$ 又 $a_2=a_{1}q=2a_1$，故 $\frac{S_4}{a_2}=\frac{15a_1}{2a_1}=\frac{15}{2}.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与前 $n$ 项和

核心方法：$S_4=15a_1$，$a_2=2a_1$，$\frac{S_4}{a_2}=\frac{15}{2}$

避坑指南：用首项 $a_1$ 表示 $S_4$ 和 $a_2$，相除时 $a_1$ 约掉；求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 的符号（$q=2$ 时分子为负、分母为负）要算对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量是数列小题的常客，2009 广东文第 5 题、2010 大纲Ⅰ文第 4 题同型。

结论推广：$a_n=a_1{q}^{n-1}$；$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）；比值题先约去 $a_1$。

方法推广：把待求的 $\frac{S_4}{a_2}$ 都用 $a_1$ 表示，$a_1$ 自然约去，不需要求具体值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
• 2009-广东卷文-05 单-等比基本量
• 2010-大纲卷I文-04 单-等比数列性质
• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线