2009-广东卷文-05 单-等比基本量

本题导读

考查等比数列。$a_3{a}_9=2a_5^2\Rightarrow q^2=2$，$q=\sqrt{2}$，$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为正数，且 $a_3\cdot a_9=2a_5^2$，$a_2=1$，则 $a_1=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. $a_3{a}_9=a_1^2{q}^{10}$，$2a_5^2=2a_1^2{q}^8$，由 $a_1\ne 0$ 得 $q^2=2$。
2. 公比为正，$q=\sqrt{2}$。
3. $a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，$q>0$，且 $a_2=a_{1}q=1$。 又 $a_3{a}_9=(a_1{q}^2)(a_1{q}^8)=a_1^2{q}^{10}$，$2a_5^2=2(a_1{q}^4{)}^2=2a_1^2{q}^8$。 因为 $a_1\ne 0$，所以 $q^2=2$。结合 $q>0$，得 $q=\sqrt{2}$， 从而 $a_1=\frac{1}{q}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的基本量

核心方法：$a_3{a}_9=a_1^2{q}^{10}$，$a_5^2=a_1^2{q}^8$，约去 $a_1^2$ 得 $q^2=2$

避坑指南：“公比为正”才能从 $q^2=2$ 锁定 $q=\sqrt{2}$；$a_1=a_2/q=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列中 $a_m{a}_n=a_k^2⟺m+n=2k$，本题 $3+9=2\times 6\ne 2\times 5$，所以不是中项结构。

结论推广：下标运算：$a_3{a}_9=a_6^2{q}^{(3-6)+(9-6)}$ 也是同一结论。

方法推广：$a_1=\frac{a_2}{q}$ 直接除，不必解方程组。

🔗【关联脉络】

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