2010-大纲卷I文-04 单-等比数列性质

本题导读

考查等比性质。 $(a_{4} a_{5} a_{6})^{2} = 5 \times 10 = 50$ ， $a_{4} a_{5} a_{6} = 52$ ，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)）已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} = 5$ ， $a_{7} a_{8} a_{9} = 10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}$ 等于()

A. $52$ 　　　　　　　B. $7$ 　　　　　　　C. $6$ 　　　　　　　D. $42$

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$a_{1} a_{2} a_{3} = a_{2}^{3} = 5$ ， $a_{7} a_{8} a_{9} = a_{8}^{3} = 10$ 。

$a_{4} a_{5} a_{6} = a_{5}^{3}$ ，且 $a_{5}^{2} = a_{2} a_{8}$ 。

$(a_{5}^{3})^{2} = a_{2}^{3} a_{8}^{3} = 50$ ， $a_{4} a_{5} a_{6} = 50 = 52$ 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列的性质， $a_{1} a_{2} a_{3} = a_{2}^{3}$ ， $a_{7} a_{8} a_{9} = a_{8}^{3}$ ， $a_{4} a_{5} a_{6} = a_{5}^{3}$ ，且 $a_{5}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项，即 $a_{5}^{2} = a_{2} a_{8}$ 。因此 $(a_{4} a_{5} a_{6})^{2} = (a_{5}^{3})^{2} = a_{2}^{3} \cdot a_{8}^{3} = (a_{1} a_{2} a_{3}) (a_{7} a_{8} a_{9}) = 5 \times 10 = 50.$ 各项均为正数，故 $a_{4} a_{5} a_{6} = 50 = 52$ ，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的等距性质

核心方法：三项之积写成中项立方，用 $a_{5}^{2} = a_{2} a_{8}$ 桥接

避坑指南：开方时取正根的依据是”各项均为正数”；漏掉此条件会误选 $- 52$ 类干扰（本题选项未设，但条件不可丢）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列中 $a_{n - k} a_{n + k} = a_{n}^{2}$ ，等距三项之积 $a_{n - 1} a_{n} a_{n + 1} = a_{n}^{3}$ 。

结论推广： $(a_{1} a_{2} a_{3}) (a_{7} a_{8} a_{9}) = (a_{4} a_{5} a_{6})^{2}$ 是”首末对称积相等”的直接推论。

方法推广：小题优先用性质，基本量法（设 $a_{1}, q$ ）作为兜底。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2009-江苏卷-14 填-等比数列四项链

2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量

2011-大纲卷文-17 解-等比数列基本量

2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比

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2010-大纲卷I文-04 单-等比数列性质

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