2008-新课标卷文-15 填-椭圆弦三角形面积

本题导读

考查椭圆弦三角形面积。右焦点 $(1,0)$，直线 $y=2(x-1)$，联立椭圆得弦长 $|AB|=\frac{5\sqrt{5}}{3}$，原点到直线距离 $d=\frac{2}{\sqrt{5}}$，故 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{5}{3}$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 过椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 的右焦点作一条斜率为 $2$ 的直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，则 $△OAB$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求椭圆右焦点坐标。
2. 写出直线方程 $y=2(x-1)$。
3. 联立求交点或直接用弦长公式求 $|AB|$。
4. 求原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离，套三角形面积公式。

✅【答案】

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$\frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 中 $c^2=5-4=1$，故右焦点为 $(1,0)$. 过 $(1,0)$、斜率为 $2$ 的直线方程为 $y=2(x-1)$，即 $2x-y-2=0$. 将 $y=2x-2$ 代入椭圆方程： $\frac{x^2}{5}+\frac{(2x-2{)}^2}{4}=1,即4x^2+5(4x^2-8x+4)=20,$ $24x^2-40x=0,8x(3x-5)=0,x=0或x=\frac{5}{3}.$ 对应交点 $A(0,-2)$，$B\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$. $|AB|=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}+2\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{100}{9}}=\sqrt{\frac{125}{9}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}.$ 原点 $O$ 到直线 $2x-y-2=0$ 的距离 $d=\frac{|0-0-2|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$ 故 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\times \frac{5\sqrt{5}}{3}\times \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{3}.$ 故答案为 $\frac{5}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的弦三角形面积

核心方法：右焦点 $(1,0)$，直线 $y=2(x-1)$，交点 $A(0,-2),B\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$，$S=\frac{5}{3}$

避坑指南：右焦点由 $c^2=5-4=1$ 得 $(1,0)$；联立求交点或用弦长公式；三角形面积用 $\frac{1}{2}|AB|\cdot d$（$d$ 为原点到弦所在直线距离）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆弦三角形面积是圆锥曲线小题的常客，2010 新课标Ⅰ文第 20 题同考焦点弦。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点 $(\pm c,0)$，$c^2=a^2-b^2$；$S_{△}=\frac{1}{2}\times$ 底 $\times$ 高。

方法推广：联立求两交点最直观；也可用 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d$ 结合弦长公式、点到直线距离公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2010-新课标卷文-20 解-椭圆焦点弦
• 2009-江苏卷-22 解-抛物线参数法弦长