2009-江苏卷-22 解-抛物线参数法弦长

本题导读

考查抛物线。$y^2=2x$，垂直线 $2x+2y-1=0$，$f(m)=\frac{3}{2}\sqrt{m(m+4)}$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C$ 的顶点在原点，经过点 $A(2,2)$，其焦点 $F$ 在 $x$ 轴上.

(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2) 求过点 $F$，且与直线 $OA$ 垂直的直线的方程；

(3) 设过点 $M(m,0)$（$m>0$）的直线交抛物线 $C$ 于 $D$、$E$ 两点，$ME=2DM$.记 $D$ 和 $E$ 两点间的距离为 $f(m)$，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式.

🔍【思路分析】

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1. (1) 设 $y^2=4px$，代入 $A(2,2)$ 得 $p=\frac{1}{2}$。
2. (2) 焦点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，$k_{OA}=1$，垂线斜率 $-1$。
3. (3) 设 $(x,y)=(m+t,kt)$，得 $k^2{t}^2-2t-2m=0$，两根异号，$|t_E|=2|t_D|$，定出 $k^2=\frac{4}{m}$。

✅【答案】

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(1) $y^2=2x$；(2) $2x+2y-1=0$；(3) $f(m)=\frac{3}{2}\sqrt{m(m+4)}$（$m>0$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为抛物线顶点在原点且焦点在 $x$ 轴上，设其标准方程为 $y^2=4px$，则焦点为 $(p,0)$。 将 $A(2,2)$ 代入得 $4=8p$，所以 $p=\frac{1}{2}$，从而抛物线的标准方程为 $y^2=2x$。 (2) 由 $y^2=2x$ 可知焦点为 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$。直线 $OA$ 的斜率为 $1$，所以过 $F$ 且垂直于 $OA$ 的直线斜率为 $-1$， 其方程为 $y=-\left(x-\frac{1}{2}\right)$，即 $2x+2y-1=0$。 (3) 先考虑非竖直且非水平直线，设其斜率为 $k\ne 0$，用参数 $t$ 表示直线上的点：$(x,y)=(m+t,kt)$。 代入抛物线方程得 $k^2{t}^2=2(m+t)$，即 $k^2{t}^2-2t-2m=0$。 设对应于 $D$、$E$ 的根分别为 $t_D$、$t_E$。由韦达定理，$t_D+t_E=\frac{2}{k^2}>0$，$t_D{t}_E=-\frac{2m}{k^2}<0$，所以两根异号。 由 $ME=2DM$，设 $|t_D|=r$，$|t_E|=2r$（$r>0$）。结合两根之和为正，必有 $t_D=-r$，$t_E=2r$。 于是 $r=\frac{2}{k^2}$，$-2r^2=-\frac{2m}{k^2}$。由第一式得 $k^2=\frac{2}{r}$，代入第二式得 $r=\frac{m}{2}$，从而 $k^2=\frac{4}{m}$。 因此 $DE=|t_E-t_D|\sqrt{1+k^2}=3r\sqrt{1+k^2}=\frac{3m}{2}\sqrt{1+\frac{4}{m}}=\frac{3}{2}\sqrt{m(m+4)}$。 水平直线 $y=0$ 与抛物线只有一个交点，不符合题设；竖直直线 $x=m$ 与抛物线的两个交点关于 $M$ 对称，满足 $ME=DM$，也不满足题设比例。 故 $f(m)=\frac{3}{2}\sqrt{m(m+4)}$（$m>0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与参数法

核心方法：设 $(m+t,kt)$ 用韦达定比例关系

避坑指南：$t_D+t_E>0$ 与 $t_D{t}_E<0$ 锁定 $t_D=-r$、$t_E=2r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦长用参数法避开联立消元。

结论推广：$k^2=\frac{4}{m}$ 由 $r=\frac{m}{2}$ 与 $r=\frac{2}{k^2}$ 联立而得。

方法推广：水平、竖直两种退化直线要排除；$f(m)$ 带根号化简成 $\sqrt{m(m+4)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线