2010-新课标卷文-20 解-椭圆焦点弦

本题导读

考查椭圆综合。（1）$|AB|=4-(|A{F}_2|+|B{F}_2|)=4-2|AB|$，$|AB|=\frac{4}{3}$；（2）$|AB|=\frac{4b^2}{1+b^2}=\frac{4}{3}$，$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $E:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<1$）的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A$、$B$ 两点，且 $|A{F}_2|$，$|AB|$，$|B{F}_2|$ 成等差数列.

(1)求 $|AB|$；

(2)若直线 $l$ 的斜率为 $1$，求 $b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1.（1）$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2$，$|B{F}_1|+|B{F}_2|=2$，相加：$|AB|+|A{F}_2|+|B{F}_2|=4$。 2. 等差条件 $2|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|$，联立得 $3|AB|=4$。 3.（2）$l:y=x+c$，代入得 $(1+b^2)x^2+2cx+c^2-b^2=0$，$\Delta =8b^4$。 4. $|AB|=\sqrt{2}|x_1-x_2|=\frac{4b^2}{1+b^2}=\frac{4}{3}$，$b^2=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1) $|AB|=\frac{4}{3}$

(2) $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设半焦距 $c=\sqrt{1-b^2}$。直线 $l$ 过椭圆内的焦点 $F_1$，故 $F_1$ 在线段 $AB$ 上。 由椭圆定义，$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2$，$|B{F}_1|+|B{F}_2|=2$，两式相加得 $|AB|+|A{F}_2|+|B{F}_2|=4.$ 由 $|A{F}_2|$，$|AB|$，$|B{F}_2|$ 成等差数列，有 $2|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|$。 代入得 $3|AB|=4$，所以 $|AB|=\frac{4}{3}$。 （2）斜率为 $1$ 时，$l:y=x+c$，代入椭圆方程得 $(1+b^2)x^2+2cx+c^2-b^2=0.$ 设两交点横坐标为 $x_1,x_2$。由 $c^2=1-b^2$，判别式 $\Delta =4c^2-4(1+b^2)(c^2-b^2)=8b^4,$ 故 $|x_1-x_2|=\frac{2\sqrt{2}{b}^2}{1+b^2}$，从而 $|AB|=\sqrt{2}|x_1-x_2|=\frac{4b^2}{1+b^2}.$ 由（1）得 $\frac{4b^2}{1+b^2}=\frac{4}{3}$，解得 $b^2=\frac{1}{2}$，又 $b>0$，所以 $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与焦点弦长

核心方法：（1）定义 $+$ 等差中项列方程；（2）联立直线与椭圆，弦长公式

避坑指南：$|A{F}_1|+|B{F}_1|=|AB|$ 成立的前提是 $F_1$ 在线段 $AB$ 上（过焦点的弦）；判别式化简要用 $c^2=1-b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆上点到两焦点距离之和为 $2a=2$，是焦点弦问题的第一工具。

结论推广：三数成等差即”中项的二倍等于两端之和”，与定义式联立即出 $|AB|$。

方法推广：斜率为 $1$ 时弦长 $=\sqrt{2}|x_1-x_2|$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a_{二次}|}$ 免韦达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值