2008-新课标卷文-17 解-解三角形综合

本题导读

考查解三角形综合。建系后求 $D$ 坐标，再求 $E$，用向量数量积得 $\cos \angle CBE=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$AE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 如图，$△ACD$ 是等边三角形，$△ABC$ 是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BD$ 交 $AC$ 于 $E$，$AB=2$.

(1)求 $\cos \angle CBE$ 的值；

(2)求 $AE$.

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，令 $AB$ 在 $x$ 轴正半轴。
2. 由 $△ABC$ 是等腰直角三角形求 $B$、$C$。
3. 由 $△ACD$ 是等边三角形求 $D$。
4. 求直线 $BD$ 与 $AC$ 的交点 $E$。
5. 用向量夹角公式求 $\cos \angle CBE$，用两点距离求 $AE$。

✅【答案】

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(1)$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；(2)$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，令 $AB$ 在 $x$ 轴正半轴上. 由 $△ABC$ 是等腰直角三角形且 $\angle ACB=90^{\circ }$，得 $AC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，取 $B(2,0)$，$C(1,1)$. $△ACD$ 是等边三角形，$AC=\sqrt{2}$，$D$ 位于 $AC$ 的外侧. $AC$ 的中点为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，沿垂直于 $AC$ 的方向取距离 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，得 $D=\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right).$ (1)直线 $AC$ 的方程为 $y=x$，直线 $BD$ 上的点可写为 $(x,y)=(2,0)+t\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$. 由 $E\in AC$，即 $x=y$，解得 $t=4-2\sqrt{3}$，从而 $E(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1)$. 于是 $\overrightarrow{BC}=(-1,1)$，$\overrightarrow{BE}=(\sqrt{3}-3,\sqrt{3}-1)$， $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BE}=2,|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{(\sqrt{3}-3{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2}=2(\sqrt{3}-1).$ 故 $\cos \angle CBE=\frac{\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BE}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$ (2)由 $A(0,0)$、$E(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1)$ 得 $AE=\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形综合（建系法）

核心方法：建系求 $D,E$，向量夹角得 $\cos \angle CBE=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$AE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

避坑指南：等边三角形与等腰直角三角形混搭的图形，用建系法最稳；$D$ 由”沿垂直 $AC$ 方向取 $\frac{\sqrt{6}}{2}$“确定；$E$ 是 $BD$ 与 $AC$ 的交点，用参数方程求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形解答题常见”两三角形拼接”模型，2009 大纲Ⅰ文第 18 题、2011 湖北文第 16 题同型。

结论推广：等腰直角三角形斜边 $\sqrt{2}\times$ 直角边；等边三角形高 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times$ 边长；向量夹角 $\cos \theta =\frac{u\cdot v}{|u||v|}$。

方法推广：图形有直角时可建系；求交点用直线参数式；求角用向量数量积，求线段用两点距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形