2008-新课标卷文-23 解-参数方程与位置关系

本题导读

考查参数方程与位置关系。$C_1$ 是单位圆，$C_2$ 是直线 $x-y+\sqrt{2}=0$，与圆相切，$1$ 个公共点；纵坐标压缩一半后仍相切，公共点仍为 $1$ 个。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 已知曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta ,\\ y=\sin \theta ,\end{array}$（$\theta$ 为参数），曲线 $C_2:\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2},\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t,\end{array}$（$t$ 为参数）.

(1)指出 $C_1$，$C_2$ 各是什么曲线，并说明 $C_1$ 与 $C_2$ 公共点的个数；

(2)若把 $C_1$，$C_2$ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 $C_1^{\prime }$，$C_2^{\prime }$. 写出 $C_1^{\prime }$，$C_2^{\prime }$ 的参数方程. $C_1^{\prime }$ 与 $C_2^{\prime }$ 公共点的个数和 $C_1$ 与 $C_2$ 公共点的个数是否相同？说明你的理由.

🔍【思路分析】

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1. 消去参数，把 $C_1$、$C_2$ 化成普通方程，判断曲线类型。
2. 求直线到圆心的距离判断公共点个数。
3. 纵坐标压缩一半写出新参数方程，再判断公共点个数。

✅【答案】

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(1)$C_1$ 是单位圆，$C_2$ 是直线，$1$ 个公共点；(2)相同，均为 $1$ 个

✍【详细解析】

Abstract

(1)对 $C_1$ 消去参数：$x^2+y^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，所以 $C_1$ 是以原点为圆心、半径为 $1$ 的圆. 对 $C_2$ 作差：$x-y=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}t=-\sqrt{2}$，所以 $C_2$ 是直线 $x-y+\sqrt{2}=0$. 该直线到原点的距离为 $d=\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=1,$ 恰好等于单位圆的半径，故 $C_2$ 与 $C_1$ 相切，公共点有 $1$ 个. (2)纵坐标压缩为原来的一半后，横坐标不变，故 $C_1^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta ,\\ y=\frac{1}{2}\sin \theta ,\end{array}{C}_2^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2},\\ y=\frac{\sqrt{2}}{4}t.\end{array}$ 由 $C_1^{\prime }$ 得 $x^2+4y^2=1$，由 $C_2^{\prime }$ 得 $x=2y-\sqrt{2}$. 代入得 $(2y-\sqrt{2}{)}^2+4y^2=1$，即 $8y^2-4\sqrt{2}y+1=0$. 其判别式为 $\Delta =(-4\sqrt{2}{)}^2-4\times 8\times 1=32-32=0,$ 所以 $C_1^{\prime }$ 与 $C_2^{\prime }$ 仍相切，公共点仍为 $1$ 个. 故压缩前后公共点的个数相同，均为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与直线和圆的位置关系

核心方法：$C_1$ 单位圆、$C_2$ 直线 $x-y+\sqrt{2}=0$，相切 1 个公共点；压缩后仍 1 个

避坑指南：消参：$C_1$ 用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，$C_2$ 用两式作差；直线到圆心距离等于半径判定相切；压缩后代入判别式 $\Delta =0$ 仍相切。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程消参+位置关系是选考大题常客，2009 新课标Ⅰ文第 23 题、2010 新课标Ⅰ文第 23 题同型。

结论推广：$x^2+y^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta$；直线到原点距离 $d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$；$\Delta =0\Rightarrow$ 相切。

方法推广：先消参判类型，再用距离或判别式判公共点个数；压缩变换只改纵坐标，横坐标不变，注意系数变化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-23 解-参数方程与距离最值
• 2009-广东卷文-14 填-参数方程垂直
• 2010-新课标卷文-23 解-参数方程轨迹
• 2010-湖南卷文-04 单-极坐标与参数方程