2009-新课标卷文-23 解-参数方程与距离最值

本题导读

坐标系与参数方程。第 (1) 问平方消参；第 (2) 问先定 $P$，设 $Q$ 的参数坐标写出中点 $M$，消去直线 $C_3$ 的参数得普通直线，距离分子化为 $4\cos \theta -3\sin \theta -13$ 求最小值。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=-4+\cos t,\\ y=3+\sin t\end{array}$（$t$ 为参数），$C_2:\{\begin{array}{l}x=8\cos \theta ,\\ y=3\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）.

(1)化 $C_1$，$C_2$ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若 $C_1$ 上的点 $P$ 对应的参数为 $t=\frac{\pi }{2}$，$Q$ 为 $C_2$ 上的动点，求 $PQ$ 中点 $M$ 到直线 $C_3:\{\begin{array}{l}x=3+2t,\\ y=-2+t\end{array}$（$t$ 为参数）距离的最小值.

🔍【思路分析】

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1. (1) $C_1$ 平方相加得圆；$C_2$ 化为 $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$ 的椭圆。
2. (2) $t=\frac{\pi }{2}$ 时 $P=(-4,4)$；设 $Q=(8\cos \theta ,3\sin \theta )$，中点 $M=(4\cos \theta -2,\frac{3}{2}\sin \theta +2)$；$C_3$ 消参得 $x-2y-7=0$；距离分子 $|4\cos \theta -3\sin \theta -13|$ 的最小值由 $4\cos \theta -3\sin \theta ⩽5$ 求得。

✅【答案】

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(1) $C_1$ 为圆 $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=1$，$C_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$；(2)最小值为 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 对 $C_1$：$x+4=\cos t$，$y-3=\sin t$，平方相加得 $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=1$，故 $C_1$ 是以 $(-4,3)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆。 对 $C_2$：$\frac{x}{8}=\cos \theta$，$\frac{y}{3}=\sin \theta$，平方相加得 $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$，故 $C_2$ 是中心在原点、长半轴 $8$、短半轴 $3$（焦点在 $x$ 轴上）的椭圆。

（2） 当 $t=\frac{\pi }{2}$ 时，$P=(-4,4)$。设 $Q=(8\cos \theta ,3\sin \theta )$，则 $PQ$ 的中点 $M=\left(\frac{8\cos \theta -4}{2},\frac{3\sin \theta +4}{2}\right)=(4\cos \theta -2,\frac{3}{2}\sin \theta +2).$ 直线 $C_3$ 消去参数得 $x-2y-7=0$。点 $M$ 到该直线的距离 $d=\frac{|x_M-2y_M-7|}{\sqrt{5}}=\frac{|4\cos \theta -3\sin \theta -13|}{\sqrt{5}}.$ 由 $4\cos \theta -3\sin \theta ⩽\sqrt{4^2+3^2}=5$（当 $(\cos \theta ,\sin \theta )=(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$ 时取得），故分子恒为负且 $d⩾\frac{13-5}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5},$ 当 $(\cos \theta ,\sin \theta )=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ 时取等号。 故距离的最小值为 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程互化、点到直线距离

核心方法：平方消参 + 距离公式 + 三角最值

避坑指南：$4\cos \theta -3\sin \theta$ 的最大值是 $\sqrt{4^2+3^2}=5$（辅助角/和角公式），绝对值内恒为负的判断别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程消参后回归解析几何基本模型。

结论推广：$a\cos \theta +b\sin \theta \in [-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}]$。

方法推广：中点 $M$ 的坐标是两个参数坐标的平均值，椭圆参数用 $\theta$、圆参数用 $t$，别混写。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷文-23 解-参数方程与距离和
• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程