2008-江苏卷-13 填-面积最大值

本题导读

本题约束独特：$AC=\sqrt{2}BC$，设 $BC=a$ 则 $AC=\sqrt{2}a$，把面积表示为 $a$ 的二次函数求最大值。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 满足条件 $AB=2$，$AC=\sqrt{2}BC$ 的三角形 $ABC$ 的面积的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $BC=a$，则 $AC=\sqrt{2}a$，$AB=2$ 固定。
2. 余弦定理表示 $\cos C$，面积 $S=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2\sin C$。
3. 消去角得 $S$ 关于 $a^2$ 的二次函数，配方求最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $BC=a$，则 $AC=\sqrt{2}a$，$AB=2$。 由余弦定理 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cos C$，得 $4=3a^2-2\sqrt{2}{a}^2\cos C$，即 $\cos C=\frac{3a^2-4}{2\sqrt{2}{a}^2}$。 于是 $S=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2\sin C$， $S^2=\frac{1}{2}{a}^4\left(1-{\cos }^{2}C\right)=\frac{1}{16}\left(-a^4+24a^2-16\right)$。 令 $t=a^2$，$S^2=\frac{-t^2+24t-16}{16}=-\frac{(t-12{)}^2}{16}+8⩽8$。 当 $t=12$（此时 $\cos C=\frac{4}{3\sqrt{2}}$，三角形存在）时 $S^2$ 取最大值 $8$。 所以面积的最大值为 $2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形的面积最值

核心方法：设公共元 $a$，余弦定理消角，二次函数配方

避坑指南：$\cos C$ 必须落在 $(-1,1)$ 内才构成三角形；最值在抛物线顶点处取得，取等时需检验三角形存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 湖南文第 14 题、2011 新课标Ⅰ文第 15 题同型。

结论推广：面积最值的通法：设元、余弦定理消角、二次函数配方。

方法推广：配方前统一变量为 $a^2$，别被 $a^4$ 吓住；最后验证三角形存在。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2010-江苏卷-13 填-正余弦定理化简求值
• 2009-湖南卷文-14 填-解三角形范围
• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角