2011-北京卷理-14 填-曲线与方程

本题导读

本题考查曲线与方程的几何性质，以及平面解析几何对称性。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 曲线 $C$ 是平面内与两个定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离的积等于常数 $a^2$ ($a>1$) 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线 $C$ 过坐标原点； ② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称； ③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，则 $\Delta F_{1}P{F}_2$ 的面积不大于 $\frac{1}{2}{a}^2$. 其中，所有正确结论的序号是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出点 $P(x,y)$ 满足的距离方程 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=a^2$。
2. 代入 $(0,0)$ 检验 ①。
3. 用 $(-x,-y)$ 替换 $(x,y)$ 检验 ②。
4. 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |y_P|=|y_P|$，根据方程求 $y_P$ 的最大值判断 ③。

✅【答案】

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②③

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $P(x,y)$ 为曲线 $C$ 上任意一点，由已知 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=a^2$： $\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=a^2$ 两边平方整理得： $[(x^2+y^2+1)+2x][(x^2+y^2+1)-2x]=a^4$ $(x^2+y^2+1{)}^2-4x^2=a^4$

分析三个结论：

• 对于 ①：代入原点 $(0,0)$，左边 $=(0+0+1{)}^2-0=1$。因为 $a>1$，所以 $a^4>1$，左边 $\ne$ 右边，故曲线 $C$ 不过原点，① 错误。
• 对于 ②：将 $(x,y)$ 替换为 $(-x,-y)$，方程变为 $((-x{)}^2+(-y{)}^2+1{)}^2-4(-x{)}^2=(x^2+y^2+1{)}^2-4x^2=a^4$，方程保持不变，故曲线 $C$ 关于坐标原点对称，② 正确。
• 对于 ③：$\Delta F_{1}P{F}_2$ 的底边为 $|F_1{F}_2|=2$，高为 $|y|$，故面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times |y|=|y|$。 由于 $(x^2+y^2+1{)}^2-4x^2=a^4⟹(y^2+1{)}^2+2x^2(y^2-1)+x^4=a^4$。 又由开头的距离积： $a^2=|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|⩾\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2}{2}-\dots$ 或利用三角面积公式：$S=\frac{1}{2}|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|\sin \angle F_{1}P{F}_2=\frac{1}{2}{a}^2\sin \angle F_{1}P{F}_2$。 因为 $\sin \angle F_{1}P{F}_2⩽1$，所以： $S=\frac{1}{2}{a}^2\sin \angle F_{1}P{F}_2⩽\frac{1}{2}{a}^2$ 故 $\Delta F_{1}P{F}_2$ 的面积不大于 $\frac{1}{2}{a}^2$，③ 正确。

综上，正确结论的序号是 ②③。

答案为：②③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：隐函数曲线的对称性与三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 的最值。
• 核心方法：
• 对称性检验：代入 $(-x,-y)$ 方程不变；
• 面积最值：巧用 $S=\frac{1}{2}|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|\sin \theta$ 结合正弦函数有界性。
• 避坑指南：计算面积最值时，无需硬解 $|y|$ 的最大值，直接使用两边夹角正弦面积公式更为精炼。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：本题曲线 $C$ 为高阶曲线——卡西尼卵形线（Cassini oval）。
• 结论推广：对任意满足 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=k$ 的曲线，$\Delta F_{1}P{F}_2$ 的面积上限均为 $\frac{1}{2}k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-13 填-面积最大值
• 2008-湖北卷文-20 解-双曲线方程与面积定斜率
• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆