2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积

本题导读

本题考查余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） $△ABC$ 中，$B=120^{\circ }$，$AC=7$，$AB=5$，则 $△ABC$ 的面积为　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos B$ 解出 $BC=3$
2. 步骤2：再用 $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin B$

✅【答案】

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$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $BC=a$。由余弦定理，

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B=25+a^2+5a$。

所以 $a^2+5a-24=0$，即 $(a-3)(a+8)=0$。由于 $a>0$，得 $a=3$。于是

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理（已知两边与夹角的对边）；钝角三角形面积公式

核心方法：余弦定理列关于 $a$ 的二次方程 → 取正根 → 套面积公式（$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$）

避坑指南：$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 使方程出现 $+5a$ 项；解出 $a=3$ 后面积公式用 $AB$、$BC$ 与夹角 $B$，不要误用 $AC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理与面积题，与 2012 年湖南卷文第 8 题、2012 年陕西卷文第 13 题同族。

结论推广：$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin B$；当 $△$ 两边一夹角与对边同时给出时，先用余弦定理验证或求第三边。

方法推广：解三角形填空题：能列余弦定理就直接列，解二次方程取正根，最后面积用”两边一夹角”公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-08 单-余弦定理与面积求高
• 2012-陕西卷文-13 填-余弦定理解三角形
• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理