2008-江西卷文-06 单-三角化简周期奇偶

本题导读

分子 $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$，约去公因式后只剩 $\cos \frac{x}{2}$ 的函数，周期与奇偶性一目了然.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+2\sin \frac{x}{2}}$ 是()

A. 以 $4\pi$ 为周期的偶函数　　　　　　　　B. 以 $2\pi$ 为周期的奇函数

C. 以 $2\pi$ 为周期的偶函数　　　　　　　　D. 以 $4\pi$ 为周期的奇函数

🔍【思路分析】

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$f(x)=\frac{2\sin (x/2)\cos (x/2)}{2\sin (x/2)(\cos (x/2)+1)}=\frac{\cos (x/2)}{\cos (x/2)+1}$，由 $\cos \frac{x}{2}$ 知周期 $4\pi$；$f(-x)=f(x)$ 为偶函数，选 A.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$，故 $f(x)=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+1\right)}=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+1}$. $\cos \frac{x}{2}$ 的最小正周期为 $4\pi$，且 $g(u)=\frac{u}{u+1}$ 不为常值，故 $f$ 的最小正周期为 $4\pi$. 又 $f(-x)=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+1}=f(x)$，为偶函数. 故 $f(x)$ 是以 $4\pi$ 为周期的偶函数，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变形与周期奇偶性

核心方法：降幂、辅助角化一，再由周期与奇偶性定参数

避坑指南：$f(-x)=f(x)$ 是偶函数、$f(-x)=-f(x)$ 是奇函数，方向别记反；判断周期用最小正周期 $$\begin{gathered} T= \\ frac2 \\ pi \\ omega \end{gathered}$$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化一与性质判定（2010 山东文 9、2012 安徽文 7）

结论推广：推广到含参 $\omega ,\phi$ 的周期性、奇偶性反求参数

方法推广：化一（辅助角）+ 三性质（周期、奇偶、最值）是三角函数的统一框架

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2010-江西卷文-12 单-三角函数图象判断
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性
• 2012-新课标卷文-09 单-三角函数对称性