2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积

本题导读

正六边形有现成坐标系：设边长 1，$A,B,C,D,E,F$ 依次位于单位圆上，四个命题化为坐标运算逐条判定.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 如图，正六边形 $ABCDEF$ 中，有下列四个命题：

A. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{BC}$； B. $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$； C. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}$； D. $\left(\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}\right)\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{EF}\right)$. 其中真命题的代号是　　。（写出所有真命题的代号）

🔍【思路分析】

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设边长 1，$A(1,0)$ 逆时针排布（$B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ 等）或直接用几何：A 中 $AC+AF=-2\overrightarrow{AO}\cdot$…用坐标最稳：A、B、D 真，C 错（左=3，右=1）.

✅【答案】

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A、B、D

✍【详细解析】

Abstract

设边长为 1，取 $A$ 为起点建立坐标：$A(1,0)$，$B\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$C\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$D(-1,0)$，$E\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$F\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$（中心在原点）. A：$\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，和为 $(-2,0)$；$\overrightarrow{BC}=(-1,0)$，$2\overrightarrow{BC}=(-2,0)$. 相等，A 真. B：$\overrightarrow{AD}=(-2,0)$；$\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}=(-1-1,\sqrt{3}-\sqrt{3})$… 逐分量：$2\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{3})$，$2\overrightarrow{AF}=(-1,-\sqrt{3})$，和为 $(-2,0)$. 相等，B 真. C：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\left(-\frac{3}{2}\right)(-2)+0=3$；$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=(-2)\left(-\frac{1}{2}\right)+0=1$. $3\ne 1$，C 假. D：$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}=(-2)\left(-\frac{1}{2}\right)+0=1$；$\overrightarrow{EF}=(1,0)$，$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}$. 左边 $=1\cdot \overrightarrow{EF}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；右边 $=\overrightarrow{AD}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\left(1,0\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot$… 即 $\left(-\frac{1}{2}\right)(-2,0)=(1,0)$. 咦，左边 $\overrightarrow{EF}=(1,0)$，左边 $=(1,0)$；右边 $=(1,0)$. 相等，D 真. 综上，真命题为 A、B、D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六边形中的向量关系

核心方法：选一组基底表示各向量，数量积用模与夹角

避坑指南：正六边形对边平行、中心角 $$\begin{gathered} 60^{ \\ circ} \end{gathered}$$ 是钥匙；向量的起点终点要对应准，方向相反时点乘取负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正多边形中的向量（2010 江西文 16、2012 四川文 17）

结论推广：推广到正八边形、圆内接正多边形中的向量表示

方法推广：选基底 + 夹角（中心角）是向量几何题的通用套路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-湖南卷文-15 填-向量基底分解
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积