2009-江苏卷-02 填-向量数量积

本题导读

考查数量积定义。$a\cdot b=2\times \sqrt{3}\times \cos 30^{\circ }=3$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 已知向量 $a$ 和向量 $b$ 的夹角为 $30^{\circ }$，$|a|=2$，$|b|=\sqrt{3}$，则向量 $a$ 和向量 $b$ 的数量积 $a\cdot b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 数量积定义：$a\cdot b=|a||b|\cos ⟨a,b⟩$。
2. 代入 $2\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由数量积的定义，$a\cdot b=|a||b|\cos 30^{\circ }=2\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积定义

核心方法：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$

避坑指南：夹角 $30^{\circ }$ 的余弦是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，乘积里两个根号相消出整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义级数量积是填空常客。

结论推广：模与夹角都在题面时无需坐标，直接套定义式。

方法推广：看清给的是夹角还是方向关系；结果一般最简化（带根号保留）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角