2008-江西卷文-22 解-抛物线三点共线与公共点

本题导读

(1) 设 $A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$，直线 $AP$ 与抛物线的另一交点横坐标 $e=-\frac{y_0}{a}$，$E(e,e^2)$；直线 $EF$ 过 $N$ 等价于 $x_0(a+b)-y_0=ab$，这正是 $M$ 在直线 $AB$ 上的条件. (2) $A,B,M,N$ 共线时直线即 $MN$（水平线 $y=y_0$），$a+b=0$、$ab=-y_0$；以 $AB$ 为直径的圆与抛物线的交点满足 $(x+a)(x+b)+1=0$，即 $x^2=y_0-1$，有交点 ⟺ $y_0⩾1$，且交点到直线 $AB$ 的距离恒为 1.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知抛物线 $y=x^2$ 和三个点 $M(x_0,y_0)$，$P(0,y_0)$，$N(-x_0,y_0)$（$y_0\ne x_0^2$，$y_0>0$），过点 $M$ 的一条直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，$AP$、$BP$ 的延长线分别交曲线 $C$ 于 $E$、$F$.

(1) 证明 $E$、$F$、$N$ 三点共线；

(2) 如果 $A$、$B$、$M$、$N$ 四点共线，问：是否存在 $y_0$，使以线段 $AB$ 为直径的圆与抛物线有异于 $A$、$B$ 的交点？如果存在，求出 $y_0$ 的取值范围，并求出该交点到直线 $AB$ 的距离；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 设 $A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$；直线 $AP$：$y=y_0+\frac{a^2-y_0}{a}x$ 与 $y=x^2$ 联立，两根 $a$ 与 $e$ 满足 $ae=-y_0$，故 $E\left(-\frac{y_0}{a},\frac{y_0^2}{a^2}\right)$，记 $e=-\frac{y_0}{a}$. 直线 $EF$（抛物线弦）：$y=(e+f)x-ef$；$N$ 在其上 ⟺ $-x_0(e+f)-ef=y_0$，展开恰为 $x_0(a+b)-y_0=ab$，即 $M(x_0,y_0)$ 在直线 $AB$：$y=(a+b)x-ab$ 上，恒成立. (2) 四点共线时 $AB$ 即水平线 $MN$：$y=y_0$，$a=-\sqrt{y_0}$，$b=\sqrt{y_0}$，$a+b=0$、$ab=-y_0$. 圆 $(x-a)(x-b)+(y-a^2)(y-b^2)=0$ 与 $y=x^2$ 联立，提出 $(x-a)(x-b)$ 后得 $(x+a)(x+b)+1=0$，即 $x^2+ab+1=0$，$x^2=y_0-1$. 有异于 $A,B$ 的交点 ⟺ $y_0⩾1$；此时交点 $(x,y_0-1)$ 到直线 $y=y_0$ 的距离 $=|y_0-(y_0-1)|=1$.

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) 存在，$y_0⩾1$，该交点到直线 $AB$ 的距离为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$（$a\ne b$），则直线 $AB$ 的方程为 $y=(a+b)x-ab$. 直线 $AP$ 过 $P(0,y_0)$ 与 $A(a,a^2)$：$y=y_0+\frac{a^2-y_0}{a}x$. 与 $y=x^2$ 联立：$x^2-\frac{a^2-y_0}{a}x-y_0=0$，其两根为 $a$ 与 $e$（$E$ 的横坐标）， 由韦达定理 $ae=-y_0$，得 $e=-\frac{y_0}{a}$，且 $y_E=e^2$（$E$ 在抛物线上）. 同理 $F\left(f,f^2\right)$，$f=-\frac{y_0}{b}$. 直线 $EF$（抛物线上两点 $E(e,e^2)$、$F(f,f^2)$ 的弦）方程为 $y=(e+f)x-ef$. $N(-x_0,y_0)$ 在直线 $EF$ 上等价于 $y_0=-x_0(e+f)-ef$. 代入 $e+f=-y_0\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{y_0(a+b)}{ab}$，$ef=\frac{y_0^2}{ab}$： 右边 $=\frac{y_0{x}_0(a+b)}{ab}-\frac{y_0^2}{ab}=\frac{y_0}{ab}\left[x_0(a+b)-y_0\right]$. 而 $M(x_0,y_0)$ 在直线 $AB$ 上，即 $y_0=(a+b)x_0-ab$，亦即 $x_0(a+b)-y_0=ab$， 故右边 $=\frac{y_0}{ab}\cdot ab=y_0$，等式恒成立. 所以 $E$、$F$、$N$ 三点共线. (2) $A$、$B$、$M$、$N$ 四点共线，且 $M(x_0,y_0)$ 与 $N(-x_0,y_0)$ 的纵坐标相同，故直线 $AB$ 即水平直线 $y=y_0$ （此时 $x_0\ne 0$，直线由两个不同点 $M$、$N$ 唯一确定），于是 $a+b=0$，$ab=-y_0$. 以线段 $AB$ 为直径的圆：$(x-a)(x-b)+(y-a^2)(y-b^2)=0$. 代入 $y=x^2$ 并因式分解：$(x-a)(x-b)\left[1+(x+a)(x+b)\right]=0$. 除 $A$、$B$（对应 $x=a,b$）外的交点满足 $(x+a)(x+b)+1=0$，即 $x^2+(a+b)x+ab+1=0$， 以 $a+b=0$、$ab=-y_0$ 代入：$x^2+1-y_0=0$，$x^2=y_0-1$. 存在异于 $A$、$B$ 的交点等价于该方程有实根，即 $y_0-1⩾0$，得 $y_0⩾1$. 此时交点纵坐标 $y=x^2=y_0-1$，其到直线 $AB$（$y=y_0$）的距离为 $d=\left|y_0-(y_0-1)\right|=1$. 所以存在这样的 $y_0$，取值范围为 $y_0⩾1$，且该交点到直线 $AB$ 的距离恒为 1.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线三点共线与公共点

核心方法：用射影（坐标）关系证三点共线，联立方程讨论圆与抛物线的公共点

避坑指南：三点共线可用斜率相等或向量共线；公共点个数由判别式或几何位置决定，注意相切与相交的临界情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线定点与共线、公共点（2009 福建文 22、2010 山东文 22）

结论推广：推广到准线、焦点弦、圆与圆锥曲线的位置关系

方法推广：坐标法 + 联立判别式，是解析几何综合题的主干

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2009-大纲卷I文-22 解-抛物线与圆最值
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长