2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦

本题导读

考查抛物线综合。$\overrightarrow{F{M}_1}\cdot \overrightarrow{F{N}_1}=p^2+y_1{y}_2=0$；$S_2^2=4S_1{S}_3$ 成立。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 如图，过抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $M$、$N$ 两点，自 $M$、$N$ 向准线 $l$ 作垂线，垂足分别为 $M_1$、$N_1$.

(1)求证：$F{M}_1\perp F{N}_1$；

(2)记 $△FM{M}_1$、$△F{M}_1{N}_1$、$△FN{N}_1$ 的面积分别为 $S_1$、$S_2$、$S_3$，试判断 $S_2^2=4S_1{S}_3$ 是否成立，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，则 $M_1\left(-\frac{p}{2},y_1\right)$，$N_1\left(-\frac{p}{2},y_2\right)$，$F\left(\frac{p}{2},0\right)$。
2. (1) $\overrightarrow{F{M}_1}=(-p,y_1)$，$\overrightarrow{F{N}_1}=(-p,y_2)$，数量积 $p^2+y_1{y}_2$；过焦点弦 $y_1{y}_2=-p^2$，故数量积为 $0$。
3. (2) 记 $r_1=x_1+\frac{p}{2}$，$r_2=x_2+\frac{p}{2}$（抛物线定义下的焦半径）。
4. $S_1=\frac{1}{2}|y_1|r_1$，$S_3=\frac{1}{2}|y_2|r_2$，$S_2=\frac{1}{2}p|y_1-y_2|$（以 $|y_1-y_2|$ 为底、$p$ 为高）。
5. $4S_1{S}_3=|y_1{y}_2|r_1{r}_2=p^2{r}_1{r}_2$；$S_2^2=\frac{p^2}{4}(y_1-y_2{)}^2$。
6. $(y_1-y_2{)}^2=2p(x_1+x_2)+2p^2$；$r_1{r}_2=\left(x_1+\frac{p}{2}\right)\left(x_2+\frac{p}{2}\right)=\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{2}$（用 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$）。
7. 故 $S_2^2=\frac{p^2}{4}\cdot 2p(x_1+x_2+p)=\frac{p^3}{2}(x_1+x_2+p)$，$4S_1{S}_3=p^2\cdot \frac{p}{2}(x_1+x_2+p)=\frac{p^3}{2}(x_1+x_2+p)$，两者相等，成立。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$S_2^2=4S_1{S}_3$ 成立，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，则 $M_1\left(-\frac{p}{2},y_1\right)$，$N_1\left(-\frac{p}{2},y_2\right)$，$F\left(\frac{p}{2},0\right)$。 （1）$\overrightarrow{F{M}_1}=(-p,y_1)$，$\overrightarrow{F{N}_1}=(-p,y_2)$。 将直线 $MN$（过焦点，斜率存在时）写成 $x=my+\frac{p}{2}$，与 $y^2=2px$ 联立， 得 $y^2-2pmy-p^2=0$，故 $y_1{y}_2=-p^2$（斜率不存在时 $x=\frac{p}{2}$，$y_1{y}_2=-p^2$ 同样成立）。 于是 $\overrightarrow{F{M}_1}\cdot \overrightarrow{F{N}_1}=p^2+y_1{y}_2=0$，所以 $F{M}_1\perp F{N}_1$。 （2）由抛物线定义，$|FM|=x_1+\frac{p}{2}$，$|FN|=x_2+\frac{p}{2}$。 $S_1=\frac{1}{2}|y_1|\left(x_1+\frac{p}{2}\right)$，$S_3=\frac{1}{2}|y_2|\left(x_2+\frac{p}{2}\right)$， $S_2=\frac{1}{2}\cdot p\cdot |y_1-y_2|$（以 $|y_1-y_2|$ 为底、准线到焦点的距离 $p$ 为高的三角形）。 由（1）的联立结果还有 $y_1+y_2=2pm$，$x_1+x_2=\frac{y_1^2+y_2^2}{2p}=p{m}^2+p$。 计算 $(y_1-y_2{)}^2=y_1^2+y_2^2-2y_1{y}_2=2p(x_1+x_2)+2p^2$。 而 $\left(x_1+\frac{p}{2}\right)\left(x_2+\frac{p}{2}\right)=x_1{x}_2+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{4}=\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{2}=\frac{p}{2}(x_1+x_2+p)$。 于是 $4S_1{S}_3=|y_1{y}_2|\left(x_1+\frac{p}{2}\right)\left(x_2+\frac{p}{2}\right)=p^2\cdot \frac{p}{2}(x_1+x_2+p)=\frac{p^3}{2}(x_1+x_2+p)$； $S_2^2=\frac{p^2}{4}(y_1-y_2{)}^2=\frac{p^2}{4}\cdot \left[2p(x_1+x_2)+2p^2\right]=\frac{p^3}{2}(x_1+x_2+p)$。 所以 $S_2^2=4S_1{S}_3$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦

核心方法：设 $x=my+\frac{p}{2}$ 联立得 $y_1{y}_2=-p^2$；面积全部化归到焦半径 $r_1{r}_2$

避坑指南：$\overrightarrow{F{M}_1}\cdot \overrightarrow{F{N}_1}=p^2+y_1{y}_2=0$；$S_2^2=4S_1{S}_3$ 归到 $(y_1-y_2{)}^2=4r_1{r}_2$ 的恒等变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过焦点的弦联立时设 $x=my+\frac{p}{2}$ 一次搞定（含垂直弦）。

结论推广：$M_1$，$N_1$ 是向准线作的垂足，纵坐标与 $M$，$N$ 相同，向量坐标直接写出。

方法推广：面积关系题把三个面积都表示成 $r_1$，$r_2$ 与 $|y_1-y_2|$ 的组合，恒等式自然浮现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-山东卷文-10 单-抛物线焦点
• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹