2009-大纲卷I文-22 解-抛物线与圆最值

本题导读

解析几何压轴题。(1) 圆与抛物线四个交点等价于 $x^2-7x+16-r^2=0$ 有两正根；(2) 由对称性设交点纵坐标 $u$，$v$，面积 $S=(14-d^2)d$，$d^2=\frac{14}{3}$ 时最大，交点 $P(uv,0)$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 如图，已知抛物线 $E:y^2=x$ 与圆 $M:(x-4{)}^2+y^2=r^2$（$r>0$）相交于 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个点.

(1)求 $r$ 的取值范围；

(2)当四边形 $ABCD$ 的面积最大时，求对角线 $AC$、$BD$ 的交点 $P$ 坐标.

🔍【思路分析】

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1. (1) 将 $y^2=x$ 代入圆方程得 $x^2-7x+16-r^2=0$，需两个不相等的正根：$\Delta >0$ 且两根之积 $16-r^2>0$。
2. (2) 设根为 $x_1<x_2$，$u=\sqrt{x_1}$，$v=\sqrt{x_2}$，四个交点关于 $x$ 轴对称，$S=(u+v{)}^2(v-u)$。令 $d=v-u$，$S=(14-d^2)d$，在 $d^2=\frac{14}{3}$ 处最大；交点 $P$ 横坐标 $=uv=\frac{7}{6}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{15}}{2}<r<4$；(2)$P\left(\frac{7}{6},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 将 $y^2=x$ 代入圆的方程，得 $(x-4{)}^2+x=r^2$，即 $x^2-7x+16-r^2=0.$ 要使圆与抛物线有四个交点，上式必须有两个不相等的正根。其判别式 $\Delta =49-4(16-r^2)=4r^2-15>0,$ 且两根之积 $16-r^2>0$。因为两根之和为 $7>0$，所以两根均为正数。故 $\frac{\sqrt{15}}{2}<r<4.$

（2） 设上述二次方程的两个根为 $x_1<x_2$，令 $u=\sqrt{x_1}$，$v=\sqrt{x_2}$，则四个交点为 $A(x_1,u),B(x_1,-u),D(x_2,v),C(x_2,-v).$ 由韦达定理 $x_1+x_2=7$，即 $u^2+v^2=7$。四边形 $ABCD$ 的两条平行边 $AB=2u$，$CD=2v$，两平行边之间的距离为 $x_2-x_1=v^2-u^2$，故其面积 $S=\frac{1}{2}(2u+2v)(v^2-u^2)=(u+v{)}^2(v-u).$ 令 $d=v-u>0$，则 $(u+v{)}^2+(v-u{)}^2=2(u^2+v^2)=14$，故 $S=(14-d^2)d=14d-d^3.$ 由 $S^{\prime }=14-3d^2$ 知，当 $d^2=\frac{14}{3}$ 时 $S$ 取得最大值。 由图形关于 $x$ 轴对称，两条对角线的交点 $P$ 在 $x$ 轴上。直线 $AC$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_P=\frac{x_{1}v+x_{2}u}{u+v}=\frac{u^2\cdot \frac{v}{u}+v^2\cdot \frac{u}{v}}{u+v}=uv.$ （推导：$x_P=\frac{x_{1}v+x_{2}u}{u+v}$，其中 $x_1=u^2$，$x_2=v^2$，化简得 $x_P=\frac{u^{2}v+v^{2}u}{u+v}=uv$。） 而 $uv=\frac{(u+v{)}^2-(v-u{)}^2}{4}=\frac{\frac{28}{3}-\frac{14}{3}}{4}=\frac{7}{6}.$ 故 $P\left(\frac{7}{6},0\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆的位置关系

核心方法：联立判别式 + 对称性化面积 + 三次函数求最值

避坑指南：四个交点 $⟺$ $\Delta >0$ 且 $16-r^2>0$；$P$ 横坐标 $=uv$ 可由对称性直接看出，省去求直线方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与圆的交点综合是圆锥曲线压轴常见载体。

结论推广：关于 $x$ 轴对称的四交点构成等腰梯形，面积 $S=(u+v{)}^2(v-u)$。

方法推广：对称图形的对角线交点必在对称轴上，先定位置再求坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-21 解-抛物线轨迹与最值
• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-福建卷文-18 解-抛物线切线与圆