2008-江西卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合新定义运算及集合中元素的互异性。通过穷举两集合中元素的所有两两乘积，剔除重复元素后求和。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 定义集合运算: $A\ast B=\{z|z=xy,x\in A,y\in B\}$. 设 $A=\{1,2\}$, $B=\{0,2\}$, 则集合 $A\ast B$ 的所有元素之和为 ()

A. 0　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据新定义运算规则，将集合 $A$ 中的每个元素分别与集合 $B$ 中的每个元素相乘。
2. 收集所有的乘积结果，根据集合中元素的互异性进行去重。
3. 对去重后的集合元素求和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A=\{1,2\},B=\{0,2\}$， 按照定义 $A\ast B=\{z|z=xy,x\in A,y\in B\}$，依次计算所有可能的乘积：

• 当 $x=1$ 时：$1\times 0=0$，$1\times 2=2$；
• 当 $x=2$ 时：$2\times 0=0$，$2\times 2=4$。

得到的所有乘积结果为 $0,2,0,4$。 根据集合中元素的互异性，重复的元素 $0$ 只能算作一个。 因此，新集合 $A\ast B=\{0,2,4\}$。

其所有元素之和为： $0+2+4=6$

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的性质（确定性、互异性、无序性）；新定义乘积运算。
2. 核心方法：元素穷举法。
3. 避坑指南：最容易犯的错误是忽略了集合元素的互异性，直接将 $0+2+0+4=6$ 虽然数值凑巧相同，但如果集合中重复的是其他非零元素，不进行去重就会导致求和结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考集合章节最常见的“新定义运算”题型，重点考查对数学新规则的阅读理解与执行能力。
2. 结论推广: 设有限集合 $A$ 有 $m$ 个元素，$B$ 有 $n$ 个元素，其乘积新集合 $A\ast B$ 的元素个数 $k$ 满足 $1\le k\le mn$，当且仅当所有乘积两两互不相同时取得最大值 $mn$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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• 2009-上海卷理-02 填-集合
• 2009-上海卷理-16 单-集合