2009-上海卷理-02 填-集合

本题导读

本题考查集合的并集运算、不等式与数轴表示，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid x\le 1\}$, $B=\{x\mid x\ge a\}$, 且 $A\cup B=\mathbb{R}$, 则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将集合 $A$ 和 $B$ 分别用区间形式或在数轴上表示出来。

2. 若要使两个区间的并集覆盖整个实数集 $\mathbb{R}$，则集合 $B$ 的左端点 $a$ 必须位于集合 $A$ 右端点 1 的左侧或与其重合。

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$a\le 1$（或 $(-\infty ,1]$）

✍【详细解析】

Abstract

已知集合 $A=(-\infty ,1]$，$B=[a,+\infty )$。 要满足 $A\cup B=\mathbb{R}$，反映在数轴上，这两个区间必须无缝衔接或有所重叠， 因此，集合 $B$ 的起点 $a$ 不能大于集合 $A$ 的终点 $1$， 即 $a\le 1$。 故填 $a\le 1$（或 $(-\infty ,1]$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的基本运算（并集）与数轴边界讨论。

2. 核心方法：利用数形结合的思想，直观判断区间重叠的位置关系。

3. 避坑指南: 注意边界等号的包含情况。由于 $A$ 和 $B$ 都是闭区间，当 $a=1$ 时，$A\cup B=(-\infty ,1]\cup [1,+\infty )=\mathbb{R}$ 依然成立，故必须带等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是集合与不等式结合的传统题型，侧重于对连续实数集合运算本质的考查。

2. 结论推广: 一般地，对于无限区间 $A=(-\infty ,m]$ 与 $B=[n,+\infty )$，若 $A\cup B=\mathbb{R}$，则必有 $n\le m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式