2008-江西卷理-05 单-对数

本题导读

本题考查递推数列通项公式的求解。通过对数性质将递推关系统一为可裂项形式，利用累加法消去中间项求出通项。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2,a_{n+1}=a_n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$，则 $a_n=$ ()

A. $2+\ln n$　　B. $2+(n-1)\ln n$　　C. $2+n\ln n$　　D. $1+n+\ln n$

🔍【思路分析】

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1. 将递推关系式变形为 $a_{n+1}-a_n=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln n$。
2. 利用累加法将各式相加，抵消中间项，求出通项公式 $a_n$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意，递推关系式可化为： $a_{n+1}-a_n=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln n$

当 $n\ge 2$ 时，应用累加法： $a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $=2+(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+\cdots +(\ln n-\ln (n-1))$

中间项正负相消后，剩下首尾项： $a_n=2+\ln n-\ln 1=2+\ln n$

当 $n=1$ 时，$a_1=2+\ln 1=2$，公式同样适用。 故 $a_n=2+\ln n$。

正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一阶线性递推关系 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 的通项求解；对数的拆分性质 $\ln \frac{A}{B}=\ln A-\ln B$。
2. 核心方法：裂项累加法。
3. 避坑指南：注意对数项的合并与化简，不要把 $\ln (1+1/n)$ 错当成等差数列的公差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 的递推数列通项求解题，通过裂项相消考查累加法工具。
2. 结论推广: 若递推关系为 $a_{n+1}-a_n=f(n)$，则通项公式的一般表现形式为 $a_n=a_1+{\sum }_{i=1}^{n-1}f(i)$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和
• 2009-上海卷理-12 填-等差数列