2011-山东卷文-20 解-等比数列与对数求和

本题导读

本题考查等比数列的通项，以及分组并项求和。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1$，$a_2$，$a_3$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 中的任何两个数不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	$3$	$2$	$10$
第二行	$6$	$4$	$14$
第三行	$9$	$8$	$18$

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=a_n+(-1{)}^n\ln a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和 $S_{2n}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 按行选列逐一检验 $a_2^2=a_1{a}_3$
2. 步骤2：(2) 奇偶分组：等比部分用求和公式
3. 步骤3：对数部分 $(+,-)$ 配对相消

✅【答案】

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(1) $a_n=2\cdot 3^{n-1}$

(2) $S_{2n}=3^{2n}-1+n\ln 3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_1,a_2,a_3$ 分属三行三列且不共列，共 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种取法。逐一检验等比条件 $a_2^2=a_1{a}_3$：

$(3,4,18)$：$4^2\ne 3\times 18$；$(3,14,8)$：$14^2\ne 3\times 8$；$(2,6,18)$：$6^2=2\times 18$ 成立；$(2,14,9)$：$14^2\ne 2\times 9$；$(10,6,8)$：$6^2\ne 10\times 8$；$(10,4,9)$：$4^2\ne 10\times 9$。

故 $a_1=2$，$a_2=6$，$a_3=18$，公比 $q=3$，$a_n=2\cdot 3^{n-1}$。

(2) $b_n=2\cdot 3^{n-1}+(-1{)}^n\ln \left(2\cdot 3^{n-1}\right)=2\cdot 3^{n-1}+(-1{)}^n\ln 2+(-1{)}^n(n-1)\ln 3$。

等比部分：$\sum _{j=1}^{2n}2\cdot 3^{j-1}=\frac{2(3^{2n}-1)}{3-1}=3^{2n}-1$。

对数部分：$\sum _{j=1}^{2n}(-1{)}^j=0$（正负各 $n$ 项），$\ln 2$ 项整体消去；

$\sum _{j=1}^{2n}(-1{)}^j(j-1)$ 按相邻两项配对：$[-0+(1)]+[-2+(3)]+\cdots +[-(2n-2)+(2n-1)]=\underset{n\text{ 项}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n$。

故 $S_{2n}=3^{2n}-1+n\ln 3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的判定与通项；正负相间的并项求和；对数分解

核心方法：表格限制下的枚举检验用 $a_2^2=a_1{a}_3$ 一票否决；求和拆成”等比 + 交错对数”两块，对数块按 $(\text{偶},\text{奇})$ 相邻配对

避坑指南：$\ln a_n=\ln 2+(n-1)\ln 3$ 要先用对数法则拆开再分组，直接对 $\ln (2\cdot 3^{n-1})$ 求和无法配对；$(j-1)$ 与 $(-1{)}^j$ 的配对方向（偶项为负）别弄反，否则得 $-n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列与对数求和题与 2011-新课标卷文-17、2012-山东卷文-20、2013-陕西卷文-19 同族。

结论推广：推广：对 $b_n=a_n+(-1{)}^n{c}_n$ 型前 $2n$ 项和，若 $c_n$ 为等差，则 $\sum (-1{)}^n{c}_n$ 的相邻配对值为 $\frac{c_2-c_1}{d}$ 的等差增量累加，本题 $c_n=n-1$ 时每对贡献 $1$。

方法推广：数列大题双问结构：第一问的结论是第二问的燃料；含 $(-1{)}^n$ 的求和默认看前偶数项并相邻配对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2013-陕西卷文-19 解-数列求和与证明