2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和

本题导读

本题考查等比数列的通项与前 n 项和，以及对数运算与求和。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{3}$，公比 $q=\frac{1}{3}$.

(1) 若 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，证明：$S_n=\frac{1-a_n}{2}$；

(2) 设 $b_n={\log }_3{a}_1+{\log }_3{a}_2+\cdots +{\log }_3{a}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) $a_n=3^{-n}$
2. 步骤2：套求和公式化简
3. 步骤3：(2) ${\log }_3{a}_i=-i$
4. 步骤4：等差求和

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $b_n=-\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由等比数列通项公式，$a_n=a_1{q}^{n-1}=\frac{1}{3^n}$。因此

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^n}}{2}=\frac{1-a_n}{2}$。

（2）由 $a_i=3^{-i}$，得 ${\log }_3{a}_i=-i$。所以

$b_n={\sum }_{i=1}^n{\log }_3{a}_i=-{\sum }_{i=1}^{n}i=-\frac{n(n+1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和公式；对数把积变和；等差数列求和

核心方法：先写 $a_n=3^{-n}$，(1) 直接代入求和公式；(2) 对数逐项转化为 $-i$ 再套 $\sum i$

避坑指南：$a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ 的下标与指数同为 $n$（首项对应 $1$ 次幂），写错成 $n-1$ 次幂会使 $b_n$ 少一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列与对数求和题，与 2013 年新课标Ⅱ理第 3 题、2013 年北京卷理第 10 题同族。

结论推广：$a_1=\frac{1}{3}$、$q=\frac{1}{3}$ 时恒有 $S_n=\frac{1-a_n}{2}$（首项与公比相等的等比数列性质）；$\log$ 变换后等比数列的项化为等差数列的项。

方法推广：“对数套等比数列”的题固定两步：写出 $a_n$ 的幂形式 → 逐项取对数化为等差求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2012-安徽卷文-05 单-等比数列中项性质