2008-江西卷理-11 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的计数应用。核心在于把「一天中任一时刻」的总样本数统计清楚，再对「四个数字之和为 23」的有利时刻分类计数，最后套用古典概型公式。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 电子钟一天显示的时间是从 $00:00$ 到 $23:59$，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 $23$ 的概率为 ()

A. $\frac{1}{180}$　　　　B. $\frac{1}{288}$　　　　C. $\frac{1}{360}$　　　　D. $\frac{1}{480}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总样本数：一天共有 $24\times 60=1440$ 个时刻。
2. 设时刻为 $ab:cd$（$a$ 为十位小时、$b$ 为个位小时、$c$ 为十位分钟、$d$ 为个位分钟），统计 $a+b+c+d=23$ 的时刻数。
3. 对小时 $ab$ 分类（$00$ 至 $23$），逐一枚举分钟部分 $c+d=23-a-b$ 的可取值，累加有利时刻数，再除以总样本数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设时刻为 $ab:cd$，其中 $a\in \{0,1,2\}$、$b$、$c$、$d$ 为数字，且 $ab$ 为 $00$ 到 $23$ 的有效小时、$cd$ 为 $00$ 到 $59$ 的有效分钟。

一天共有 $24\times 60=1440$ 个时刻，故总样本数为 $1440$。

要求 $a+b+c+d=23$。由于分钟 $c+d$ 最大为 $5+9=14$，故小时部分 $a+b\ge 23-14=9$。据此枚举小时 $ab$：

• $ab=09$（$a+b=9$）：$c+d=14$，分钟可取 $59$（$c=5,d=9$）一种，且 $14=5+9$ 唯一。共 $1$ 种。
• $ab=19$（$a+b=10$）：$c+d=13$，分钟可取 $49$（$4+9=13$）、$58$（$5+8=13$）。共 $2$ 种。
• $ab=08$（$a+b=8$）：$c+d=15$，超过分钟最大值 $14$，无解。
• $ab=18$（$a+b=9$）：$c+d=14$，分钟 $59$ 一种。共 $1$ 种。
• $ab=23$（$a+b=5$）：$c+d=18$，无解。

再完整枚举满足 $a+b\ge 9$ 且 $a+b\le 23$ 的小时：

• $09$：$c+d=14$ → $59$，$1$ 种
• $18$：$c+d=14$ → $59$，$1$ 种
• $19$：$c+d=13$ → $49,58$，$2$ 种

合计有利时刻数为 $1+1+2=4$ 种。

故所求概率为： $P=\frac{4}{1440}=\frac{1}{360}$

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的计数；约束条件下的分类枚举。
2. 核心方法：分类计数法——先定小时部分，再枚举分钟部分，避免漏数或重数。
3. 避坑指南：注意分钟部分 $c+d$ 最大为 $14$（$5+9$），据此反推小时部分 $a+b$ 至少为 $9$，从而大幅缩小枚举范围。切勿盲目从 $00:00$ 逐个枚举到 $23:59$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自古典概型与数字计数问题的经典交汇，考查分类讨论与枚举的严谨性。
2. 结论推广: 对于形如「数字和为定值 $S$」的计数问题，可先固定高位数字、再枚举低位数字，并利用各数位取值范围缩小枚举区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-07 填-古典概型
• 2009-安徽卷文-10 单-正方体概率