2009-上海卷理-07 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与组合数计算、离散型随机变量的分布列，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 $\xi$ 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 $E\xi =$ $\underline{}$．（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 确定变量取值：由总共只有 2 名女生且一共选出 2 人可知，选出女生人数 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2$。

2. 计算概率分布：利用组合数公式，分别算出 $\xi =0,1,2$ 时的古典概型概率。

3. 求解期望：代入数学期望公式 $E\xi =\sum x_{i}P(\xi =x_i)$ 计算。

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$\frac{4}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，从 7 人中任选 2 人的总选法为 $C_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$ 种。 随机变量 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2$。 其对应的概率分布计算如下： $P(\xi =0)=\frac{C_5^2{C}_2^0}{C_7^2}=\frac{10}{21}$ $P(\xi =1)=\frac{C_5^1{C}_2^1}{C_7^2}=\frac{5\times 2}{21}=\frac{10}{21}$ $P(\xi =2)=\frac{C_5^0{C}_2^2}{C_7^2}=\frac{1}{21}$ 因此，随机变量 $\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times \frac{10}{21}+1\times \frac{10}{21}+2\times \frac{1}{21}=\frac{10+2}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$ 故填 $\frac{4}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布下的数学期望计算。

2. 核心方法：运用分类组合数精确表达离散事件的概率。

3. 避坑指南：在最后一步求出 $\frac{12}{21}$ 后，务必按照题目显式要求“结果用最简分数表示”化简为 $\frac{4}{7}$，否则会导致直接扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高中概率统计中标准的“不放回抽样”超几何分布模型，紧扣教材中关于随机变量数字特征的定义。

2. 结论推广: 超几何分布的期望通式：若从含有 $M$ 件次品的 $N$ 件产品中任取 $n$ 件，则抽到次品数 $X$ 的期望恒为 $EX=\frac{nM}{N}$。本题中总人数 $N=7$，女生总数 $M=2$，抽取人数 $n=2$，直接套用公式可得 $E\xi =\frac{2\times 2}{7}=\frac{4}{7}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望