2009-安徽卷文-10 单-正方体概率

本题导读

考查古典概型。六面中心记为 $(\pm 1,0,0)$，$(0,\pm 1,0)$，$(0,0,\pm 1)$：两类取法下两个三角形都全等，事件必然发生，概率 $1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 考察正方体 $6$ 个面的中心，从中任意选 $3$ 个点连成三角形，再把剩下的 $3$ 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 ()

A. $1$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 六个面中心记为 $(\pm 1,0,0)$，$(0,\pm 1,0)$，$(0,0,\pm 1)$，任取三个只有两类情况。
2. 类一：三点分别来自三组相对面，任意两点距离 $\sqrt{2}$，等边三角形；剩下三点同样。
3. 类二：含一对相对面中心，三角形三边 $2$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$；剩下三点同样。两类都全等，概率 $1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

把六个面中心分别记为 $(\pm 1,0,0)$，$(0,\pm 1,0)$，$(0,0,\pm 1)$。任取三个面中心有两种情况： 若三个点分别来自三组相对面，则任意两点之间的距离都为 $\sqrt{2}$，所得三角形为等边三角形；剩下的三个点也分别来自三组相对面，同样组成等边三角形。 若三个点中包含一对相对面中心，则第三个点来自另一组相对面，所得三角形的三边为 $2$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$；剩下的三个点也包含一对相对面中心，且三边同样为 $2$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$。 因而无论哪种取法，两个三角形都全等，事件必然发生，概率为 $1$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与正方体的对称性

核心方法：分类枚举两类取法

避坑指南：六面中心按三组相对面记忆：全来自不同组是等边三角形，含一对相对面则三边 $2$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$；两类下两三角形都全等，概率为 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称结构中的概率题先分类再算边长。

结论推广：面中心坐标化（$(\pm 1,0,0)$ 等）后距离一目了然。

方法推广：“必然事件”型结论仍需分类论证完整，不能只验一种情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型