2008-江西卷理-12 单-函数

本题导读

本题是一道将逻辑用语与二次函数区间恒成立问题深层次交汇的经典客观压轴题。核心在于将“至少有一个为正数”这一对偶逻辑条件，精细翻译为分段区间上的不等式恒成立模型，考查分类讨论的严密性。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=2m{x}^2-2(4-m)x+1$，$g(x)=mx$. 若对于任意实数 $x$，$f(x)$ 与 $g(x)$的值至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(0,2)$　　　　B. $(0,8)$　　　　C. $(2,8)$　　　　D. $(-\infty ,0)$

🔍【思路分析】

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1. 逻辑转化：“对于任意 $x$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 至少有一个为正数”的对偶命题为：不存在 $x$ 使得 $f(x)\le 0$ 且 $g(x)\le 0$ 同时成立。
2. 分区间讨论：按照参数 $m$ 的正负对单调线性函数 $g(x)\le 0$ 的解集进行划分，进而将问题转化为二次函数 $f(x)$ 在特定半轴区间上的恒大于 0 问题，结合对称轴位置与判别式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，“对于任意实数 $x$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的值至少有一个为正数”等价于： 关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)\le 0\\ g(x)\le 0\end{array}$ 无解。

对参数 $m$ 的取值范围分情况讨论：

• 情况一：当 $m=0$ 时 此时 $g(x)=0\le 0$ 恒成立。要使不等式组无解，必须要求 $f(x)>0$ 恒成立。 然而当 $m=0$ 时，$f(x)=-8x+1$，这是一条斜率不为零的直线，不可能在 $\mathbf{R}$ 上恒大于 0，故 $m=0$ 不合题意。

• 情况二：当 $m<0$ 时 由 $g(x)=mx\le 0$ 解得 $x\ge 0$。要使不等式组无解，必须满足当 $x\ge 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立。 由于 $m<0$，二次函数 $f(x)$ 的最高次系数 $2m<0$，抛物线开口向下。 开口向下的抛物线当 $x\to +\infty$ 时，整个函数值必趋于 $-\infty$，因此不可能做到在 $[0,+\infty )$ 上恒大于 0，故 $m<0$ 无解。

• 情况三：当 $m>0$ 时 由 $g(x)=mx\le 0$ 解得 $x\le 0$。要使不等式组无解，必须满足当 $x\le 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立。 由于 $m>0$，抛物线开口向上，且 $y$ 轴截距 $f(0)=1>0$。 分析二次函数 $f(x)$ 的对称轴 $x_0=\frac{2(4-m)}{4m}=\frac{4-m}{2m}$ 的位置： ① 若对称轴在 $y$ 轴右侧或重合，即 $x_0\ge 0⟹4-m\ge 0⟹0<m\le 4$： 此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减，其在该区间上的最小值为 $f(0)=1>0$。 因此，当 $0<m\le 4$ 时，$f(x)>0$ 在 $x\le 0$ 时必然恒成立。 ② 若对称轴在 $y$ 轴左侧，即 $x_0<0⟹4-m<0⟹m>4$： 此时其顶点落在 $(-\infty ,0)$ 内。要使在该半轴上恒大于 0，必须满足判别式 $\Delta <0$： $\Delta =[-2(4-m){]}^2-4(2m)(1)=4(m^2-10m+16)<0$ 解得 $2<m<8$。结合大前提 $m>4$，此分支解集为 $4<m<8$。

综合上述所有情况，取并集得实数 $m$ 的取值范围是 $(0,8)$。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简易逻辑结构转换；一元二次不等式在指定区间上恒成立的分类讨论模型。
2. 核心方法：补集思想与分类讨论思想。
3. 避坑指南：很多考生容易盲目地直接令全局判别式 $\Delta <0$，从而误选 C。必须深刻意识到，这是指定区间 $(-\infty ,0]$ 上的恒成立问题，当对称轴在右侧时，即使判别式 $\Delta \ge 0$（即抛物线与 $x$ 轴有交点），只要交点都在正半轴，负半轴上的函数值依然可以恒大于 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材中二次方程实根分布理论（韦达定理与区间根的判定）延伸而来的高频压轴选择题构型。
2. 结论推广: 若题目换为“对于任意实数 $x$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的值至少有一个为负数”，则等价于不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\end{array}$ 无解，可采用完全对称的逻辑手段进行基准转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项