2008-浙江卷文-05 单-均值不等式判断

本题导读

本题在 $a+b=2$（$a,b⩾0$）下判断四个不等式的真假：用 $(a+b{)}^2⩾4ab$ 与 $a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$ 判断，并配合反例排除。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知 $a⩾0$，$b⩾0$，且 $a+b=2$，则()

A. $ab⩽\frac{1}{2}$　　　　　B. $ab⩾\frac{1}{2}$　　　　　C. $a^2+b^2⩾2$　　　　　D. $a^2+b^2⩽3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $(a+b{)}^2⩾4ab$ 得 $ab⩽1$，但需判断是否 $⩽\frac{1}{2}$，用 $a=b=1$ 检验。
2. 由 $a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}=2$ 判断 C；用 $a=0,b=2$ 检验 D。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $(a-b{)}^2⩾0$ 及 $a+b=2$，得 $4=(a+b{)}^2⩾4ab$，所以 $ab⩽1$。 又 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=4-2ab⩾4-2=2$，故选项 C 恒成立。 取 $a=b=1$，则 $ab=1>\frac{1}{2}$，选项 A 不恒成立；取 $a=0$，$b=2$，则 $ab=0<\frac{1}{2}$，选项 B 不恒成立，且 $a^2+b^2=4>3$，选项 D 不恒成立。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式与恒成立判断

核心方法：$(a+b{)}^2⩾4ab$、$a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$ 加反例

避坑指南：$ab$ 的上确界是 $1$ 而非 $\frac{1}{2}$，选项 A 错在端点；判断”不恒成立”用反例更直接。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 重庆文第 7 题、2010 四川文第 11 题同考基本不等式。

结论推广：$a^2+b^2⩾2ab$ 与 $a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$ 是两条常用链。

方法推广：求最值与判断恒成立不同：最值要验证取等，判断真假可用反例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2010-四川卷文-11 单-基本不等式最值
• 2009-重庆卷文-02 单-逆命题