2009-重庆卷文-07 单-基本不等式

本题导读

考查基本不等式连用。令 $t=\sqrt{ab}$，原式 $⩾\frac{2}{t}+2t⩾4$，$a=b=1$ 取等，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 已知 $a>0$，$b>0$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$ 的最小值是 ()

A. $2$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本不等式：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}⩾\frac{2}{\sqrt{ab}}$。
2. 令 $t=\sqrt{ab}>0$，原式 $⩾\frac{2}{t}+2t⩾2\sqrt{4}=4$。
3. 当且仅当 $a=b$ 且 $t=1$，即 $a=b=1$ 时取等号。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由基本不等式，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}⩾\frac{2}{\sqrt{ab}}$。 令 $t=\sqrt{ab}>0$，则原式满足 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}⩾\frac{2}{t}+2t⩾4.$ 当且仅当 $a=b$ 且 $t=1$，即 $a=b=1$ 时取等号。因此最小值为 $4$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式连用求最值

核心方法：先 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}⩾\frac{2}{\sqrt{ab}}$，再对 $\frac{2}{t}+2t$ 放缩

避坑指南：两次放缩的等号条件必须一致：$a=b$ 且 $t=1$，即 $a=b=1$，否则取不到最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连用基本不等式必须验”等号同时成立”。

结论推广：$\frac{2}{t}+2t⩾4$ 也可求导验证：$-\frac{2}{t^2}+2=0\Rightarrow t=1$。

方法推广：设 $a=b$ 直接代入原式得 $\frac{2}{a}+2a⩾4$，对称式先试对称点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立