2008-浙江卷文-06 单-多项式系数

本题导读

本题求五个一次因式乘积中含 $x^4$ 项的系数：从五个因式中选四个贡献 $x$、剩下一个贡献常数，系数即各常数之和的相反数。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^4$ 的项的系数是()

A. $-15$　　　　　　B. $85$　　　　　　C. $-120$　　　　　　D. $274$

🔍【思路分析】

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1. 五个因式各含一个 $x$，要得 $x^4$ 需从中选 $4$ 个取 $x$、$1$ 个取常数项。
2. 把所有”选一个取常数”的情形求和，符号为负。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

要得到含 $x^4$ 的项，必须从五个因式中选出四个因式的 $x$，再从剩下的一个因式中选取常数项。 当第 $k$ 个因式贡献常数 $-k$ 时，其余四个贡献 $x$，得到 $-k\cdot x^4$。 因此含 $x^4$ 项的系数为 $-(1+2+3+4+5)=-15$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项式展开特定项系数

核心方法：选因式法：选四个贡献 $x$、一个贡献常数

避坑指南：五个常数 $1$ 到 $5$ 都要计入，符号为负；别误套 $(x+a{)}^n$ 的通项公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅱ文第 14 题、2010 江西文第 3 题同考二项式系数。

结论推广：$(x-a_1)\cdots (x-a_n)$ 含 $x^{n-1}$ 的系数是 $-\sum a_i$。

方法推广：多项式连乘的特定项系数用”选因式”计数，别硬展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数
• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
• 2010-江西卷文-03 单-二项式特定项系数
• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数