2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） $(1+x{)}^7$ 的展开式中 $x^2$ 的系数是()

A. $21$　　　　　　　B. $28$　　　　　　　C. $35$　　　　　　　D. $42$

🔍【思路分析】

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$(1+x{)}^7$ 的通项为 ${\mathrm{C}}_7^k{x}^k$，$x^2$ 项对应 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_7^2=21$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

通项 ${\mathrm{T}}_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k\cdot 1^{7-k}\cdot x^k={\mathrm{C}}_7^k{x}^k$。

令 $k=2$：系数为 ${\mathrm{C}}_7^2=\frac{7\times 6}{2}=21$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式；组合数计算

核心方法：写通项、定次数对应的 $k$、代组合数

避坑指南：${\mathrm{C}}_7^2=21$ 而 ${\mathrm{C}}_7^5=21$（对称性），别把 $k$ 的取值与”第几项”混淆：$x^2$ 是第 $3$ 项，但系数由 $k=2$ 给出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式特定项系数题，与 2012 年上海卷文第 8 题、2013 年新课标Ⅰ理第 9 题同族。

结论推广：$(1+x{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 的系数即 ${\mathrm{C}}_n^k$；各系数之和为 $2^n$，奇数项系数和等于偶数项系数和。

方法推广：二项式系数题一律先写通项再定 $k$，顺序固定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-09 单-二项式系数
• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项