2008-浙江卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算、纯虚数的定义。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $a$ 是实数，$\frac{a-\text{i}}{1+\text{i}}$ 是纯虚数，则 $a=$ ()

A. 1　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用分子分母同乘分母的共轭复数 $1-\text{i}$，将复数化为 $x+y\text{i}$ 的标准形式。
2. 根据纯虚数的定义，令实部等于 0 且虚部不为 0，从而列方程解出实数 $a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对已知的复数进行分母实数化变形： $\frac{a-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(a-\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{a-a\text{i}-\text{i}+{\text{i}}^2}{2}=\frac{(a-1)-(a+1)\text{i}}{2}=\frac{a-1}{2}-\frac{a+1}{2}\text{i}$ 因为该复数为纯虚数，所以其实部为 0 且虚部不为 0： $\{\begin{array}{l}\frac{a-1}{2}=0\\ -\frac{a+1}{2}\ne 0\end{array}⟹a=1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数相除的运算法则；纯虚数的代数特征（实部为 0，虚部非 0）。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：纯虚数的定义要求虚部绝对不能为 0，在此类含有字母参数的题目中，求出结果后应习惯性代回虚部验证其是否为 0，防止产生增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中复数代数四则运算的基本练习题，是考查复数概念理解的常规题型。
2. 结论推广：形如 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}(c^2+d^2\ne 0)$ 为纯虚数的充要条件是 $ac+bd=0$ 且 $bc-ad\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数