2008-浙江卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合的交并补运算、集合运算的几何意义。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x|x>0\}$, $B=\{x|x⩽-1\}$, 则 $(A\cap {\complement }_{U}B)\cup (B\cap {\complement }_{U}A)=$ ()

A. $\varnothing$　　B. $\{x|x⩽0\}$　　C. $\{x|x>-1\}$　　D. $\{x|x>0\text{ 或 }x⩽-1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先根据全集 $U=\mathbf{R}$ 分别求出集合 $A$ 和 $B$ 的补集 ${\complement }_{U}A$ 与 ${\complement }_{U}B$。
2. 利用数轴或区间重叠关系分别求出两组交集表达式，最后求两部分的并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为全集 $U=\mathbf{R}$，且 $A=\{x|x>0\}$, $B=\{x|x⩽-1\}$， 所以 ${\complement }_{U}B=\{x|x>-1\}$， ${\complement }_{U}A=\{x|x⩽0\}$。 进行第一部分交集运算： $A\cap {\complement }_{U}B=\{x|x>0\}\cap \{x|x>-1\}=\{x|x>0\}=A$ 进行第二部分交集运算： $B\cap {\complement }_{U}A=\{x|x⩽-1\}\cap \{x|x⩽0\}=\{x|x⩽-1\}=B$ 最终求两部分的并集： $(A\cap {\complement }_{U}B)\cup (B\cap {\complement }_{U}A)=A\cup B=\{x|x>0\text{ 或 }x⩽-1\}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续区间数集的补集求法；交集与并集的定义。
2. 核心方法：数轴几何表现法，将区间画在数轴上可以避免临界点开闭的视觉混淆。
3. 避坑指南：求补集时注意大于号 $\to$ 小于等于号，小于等于号 $\to$ 大于号，区间端点开闭必须发生反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中集合基本运算章节的常规练习题。
2. 结论推广：本题所求的集合运算表达式 $(A\cap {\complement }_{U}B)\cup (B\cap {\complement }_{U}A)$ 在集合论中被称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的对称差（Symmetric Difference），记作 $A\Delta B$。当 $A\cap B=\varnothing$ 时， $A\Delta B=A\cup B$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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• 2009-上海卷理-02 填-集合
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