2008-浙江卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式、三角函数图象与直线的交点。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 在同一平面直角坐标系中，函数 $y=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)(x\in [0,2\pi ])$ 的图像和直线 $y=\frac{1}{2}$ 的交点个数是 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式 $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$ 将原函数简化为标准正弦函数。
2. 联立直线方程得到关于 $x$ 的三角方程，结合定义域 $[0,2\pi ]$ 确定解的个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

利用三角函数的诱导公式，原函数可化简为： $y=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ 令 $y=\frac{1}{2}$，即 $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$。 因为 $x\in [0,2\pi ]$，所以 $\frac{x}{2}\in [0,\pi ]$。 在该区间内，满足正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角有： $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}⟹x=\frac{\pi }{3}$ $\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}⟹x=\frac{5\pi }{3}$ 解均在 $[0,2\pi ]$ 内，因此交点个数为 2。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式的符号与名转换规律；正弦型函数的值域与周期。
2. 核心方法：代数法（整体代换求解区间范围）。
3. 避坑指南：由 $x\in [0,2\pi ]$ 必须先推导出整体角 $\frac{x}{2}$ 的取值范围为 $[0,\pi ]$，避免按惯性误认为 $\frac{x}{2}$ 也在 $[0,2\pi ]$ 内从而多算解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中三角函数性质与诱导公式章节的经典例题，着重考查基础公式的变形及区间的严密控制。
2. 结论推广：函数 $y=A\cos (\omega x+\frac{3\pi }{2})$ 恒等变形为 $y=A\sin \omega x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数