2008-浙江卷理-12 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的第一定义、焦点弦的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $F_1、F_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A、B$ 两点. 若 $|F_{2}A|+|F_{2}B|=12$，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由椭圆方程求出核心几何量 $a^2=25⟹a=5$。
2. 利用椭圆第一定义分别列出点 $A$ 和点 $B$ 到两焦点距离之和的代数方程。
3. 两式相加，结合焦点弦 $|AB|=|A{F}_1|+|B{F}_1|$ 的结构特征，进行整体代换求值。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 可得 $a^2=25⟹a=5$。 根据椭圆的第一定义，曲线上任意一点到两焦点的距离之和等于 $2a=10$。 因为点 $A、B$ 均在椭圆上，所以： $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a=10$ $|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a=10$ 两式相加得： $(|A{F}_1|+|B{F}_1|)+(|A{F}_2|+|B{F}_2|)=20$ 由于过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，因此线段 $AB$ 的长等于 $|A{F}_1|+|B{F}_1|$。 代入上式变形为： $|AB|+(|F_{2}A|+|F_{2}B|)=20$ 已知 $|F_{2}A|+|F_{2}B|=12$，所以： $|AB|+12=20⟹|AB|=8$

故答案为：8。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$；焦点弦长周长特征模型（过焦点的三角形周长为 $4a$）。
2. 核心方法：整体代数转化法。
3. 避坑指南：切勿尝试去联立直线方程与椭圆方程求解交点坐标，该题属于纯定义几何推导题，盲目建系设方程会大幅增加无效运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中椭圆焦点三角形和焦点弦周长恒定为 $4a$ 的核心基本定理。
2. 结论推广：过椭圆焦点的任意弦 $AB$ 与另一个焦点 $F_2$ 构成的 $\Delta AB{F}_2$ 的周长恒等于 $4a$。本题实质即为 $\text{周长}=|AB|+|F_{2}A|+|F_{2}B|=4a=20$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形