2008-浙江卷理-15 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查二次函数在闭区间上的最值、含绝对值函数的最值问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $t$ 为常数，函数 $y=|x^2-2x-t|$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值为 2，则 $t=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对绝对值内部的二次函数 $f(x)=x^2-2x-t$ 进行配方，确定其对称轴。
2. 结合区间 $[0,3]$，求出 $f(x)$ 的最大值与最小值。
3. 带有绝对值的函数 $|f(x)|$ 的最大值必在区间端点或内部极值点处取得，即 $\max (|f(x)|)=\max (|f(x{)}_{\max }|,|f(x{)}_{\min }|)=2$，列出方程求解并检验。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $f(x)=x^2-2x-t=(x-1{)}^2-1-t$。 因为 $x\in [0,3]$，二次函数图象的对称轴为 $x=1$。

• 当 $x=1$ 时， $f(x)$ 取得最小值， $f(x{)}_{\min }=-1-t$；
• 当 $x=3$ 时， $f(x)$ 离对称轴最远，取得最大值， $f(x{)}_{\max }=3^2-2\times 3-t=3-t$。 （注：在另一端点 $x=0$ 处， $f(0)=-t$，显然有 $-1-t⩽-t⩽3-t$）。

因此，函数 $y=|f(x)|$ 在 $[0,3]$ 上的最大值必为 $|-1-t|$ 与 $|3-t|$ 中的较大者。 依题意有： $\max (|t+1|,|3-t|)=2$。 分情况讨论： ① 若 $|t+1|=2$，解得 $t=1$ 或 $t=-3$。

• 当 $t=1$ 时， $|t+1|=2$，此时 $|3-t|=|3-1|=2$，最大值为 2，符合题意；
• 当 $t=-3$ 时， $|t+1|=2$，此时 $|3-t|=|3-(-3)|=6>2$，最大值为 6，不符合题意。

② 若 $|3-t|=2$，解得 $t=1$ 或 $t=5$。

• 当 $t=5$ 时， $|3-t|=2$，此时 $|t+1|=|5+1|=6>2$，最大值为 6，不符合题意。

综上所述， $t=1$。

故答案为：1。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：二次函数区间最值的对称性特征；绝对值函数最大值的代数剥离。
2. 核心方法：内部函数区间范围锁定法。
3. 避坑指南：容易漏掉绝对值内部极小值点 $x=1$ 处的取值，只盲目代入区间端点 $x=0$ 和 $x=3$，导致分析不全面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中二次函数在闭区间上最值基础题型的变形，引入绝对值符号增加了函数的非线性与翻折特征。
2. 结论推广：对于任意区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$， $|f(x)|$ 的最大值恒满足 ${\max }_{x\in [a,b]}|f(x)|=\max \left(|f(x{)}_{\max }|,|f(x{)}_{\min }|\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项