2008-浙江卷理-16 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合与计数原理、位置与元素的交错排列，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 用 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 1 到 6 这六个数字中，奇数有 1, 3, 5，偶数有 2, 4, 6，两类数量相等。
2. “任何相邻两个数字的奇偶性不同”说明奇偶数必须呈现严格的交错排列，总排法只有两种基础模板：奇偶奇偶奇偶（OEOEOE）或 偶奇偶奇偶奇（EOEOEO）。
3. 针对每种模板，分析特殊元素 1（奇）与 2（偶）相邻在模板内占据的不同格点位置，分步计算排列数。

✅【答案】

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$40$

✍【详细解析】

Abstract

解：数字 1, 3, 5 为奇数， 2, 4, 6 为偶数。要求相邻奇偶性不同，排列模版分两类：

类 1：奇偶奇偶奇偶（OEOEOE）形式 在此模版中， 1（奇）只能放在第 1, 3, 5 位， 2（偶）只能放在第 2, 4, 6 位。 因为 1 和 2 必须相邻，它们的坐标对 $(P_1,P_2)$ 可有以下 5 种可能：

• $(1,2)$：1在第1位，2在第2位；
• $(3,2)$：1在第3位，2在第2位；
• $(3,4)$：1在第3位，2 Regel在第4位；
• $(5,4)$：1在第5位，2在第4位；
• $(5,6)$：1在第5位，2在第6位。 在这 5 种位置排法中，一旦 1 和 2 选定了一组位置，剩下的 2 个奇数位置排剩余的 3, 5 有 ${\text{A}}_2^2=2$ 种排法；剩下的 2 个偶数位置排剩余的 4, 6 有 ${\text{A}}_2^2=2$ 种排法。 所以此类结构下的六位数共有： $5\times 2\times 2=20$ 种。

类 2：偶奇偶奇偶奇（EOEOEO）形式 同理，根据对称性， 2（偶）只能在第 1, 3, 5 位， 1（奇）只能在第 2, 4, 6 位。 要让 2 和 1 相邻，其坐标对 $(P_2,P_1)$ 同样有 5 种可能的位置组合。 对于每种组合，剩余的 2 个奇数与 2 个偶数各有 2 种排法。 所以此类结构下的六位数共有： $5\times 2\times 2=20$ 种。

综合上述两类相互排斥的结构，符合要求的六位数总共有： $20+20=40\text{ 种}$

故答案为：40。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：交错排列结构分析；相邻限制条件下的消序与占位。
2. 核心方法：整体模版分类讨论法。
3. 避坑指南：极易由于粗心将 1 和 2 捆绑后简单地看作一个元素进行插空，忽略了交错排法中“奇数位和偶数位”是有固定坐标网格约束的。必须通过枚举 1 和 2 满足奇偶占位前提下的相邻位置，才能避免漏算或多算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中排列组合板块“特殊元素优先安排”的进阶练习题，侧重考查分类讨论的清晰逻辑。
2. 结论推广：若有 $n$ 个奇数与 $n$ 个偶数进行交错全排列，且指定一个奇数与一个偶数相邻，其总排列种数可一般化推广为 $2\cdot (2n-1)\cdot [(n-1)!{]}^2$。本题代入 $n=3$，即为 $2\times 5\times (2!{)}^2=40$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合