2008-浙江卷理-17 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、不等式恒成立问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 若 $a⩾0,b⩾0$, 且当 $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ y⩾0\\ x+y⩽1\end{array}$ 时, 恒有 $ax+by⩽1$, 则以 $a,b$ 为坐标的点 $P(a,b)$ 所形成的平面区域的面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析关于 $x,y$ 的约束条件，其在平面直角坐标系中表示一个以 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形区域（包括边界）。
2. 在这个可行域内，由于 $a⩾0,b⩾0$，目标函数 $z=ax+by$ 是关于 $x,y$ 的线性函数，其最大值必在可行域三角形的顶点处取得。
3. 从而将“对于域内任意 $(x,y)$ 恒有 $ax+by⩽1$”完美等价化归为“三角形的三个顶点坐标代入式子均满足 $⩽1$”，由此建立关于 $a,b$ 的不等式组，画出点 $P(a,b)$ 的平面区域并求面积。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：由已知变量 $x,y$ 满足的约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ y⩾0\\ x+y⩽1\end{array}$， 在 $xOy$ 平面上对应的可行域是以 $O(0,0)$， $A(1,0)$， $B(0,1)$ 为顶点的直角三角形区域。

对于确定的非负实数 $a,b$，目标代数式 $z=ax+by$ 可以看作一条斜率固定的直线。在凸多边形区域上，线性函数 $ax+by$ 的最大值必然在区域的顶点处取得。 因此，“当 $(x,y)$ 在该三角形区域内时， $ax+by⩽1$ 恒成立”的充要条件是该区域的三个顶点代入均满足不等式。 分别将顶点坐标代入：

• 代入 $O(0,0)$： $a\times 0+b\times 0=0⩽1$（恒成立）；
• 代入 $A(1,0)$： $a\times 1+b\times 0⩽1⟹a⩽1$；
• 代入 $B(0,1)$： $a\times 0+b\times 1⩽1⟹b⩽1$。

结合题目已知条件 $a⩾0,b⩾0$，参数 $a,b$ 必须同时满足： $\{\begin{array}{l}0⩽a⩽1\\ 0⩽b⩽1\end{array}$ 在以 $a$ 为横轴、 $b$ 为纵轴的平面坐标系中，点 $P(a,b)$ 对应的图形是一个边长为 1 的正方形区域。 因此，该平面区域的面积为： $S=1\times 1=1$

故答案为：1。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：线性规划可行域的几何形态；线性目标函数最值极值点定理。
2. 核心方法：顶点化归法（恒成立转化为顶点最值）。
3. 避坑指南：部分学生容易将条件错解为线性规划的常规求最值，在 $a,b$ 轴和 $x,y$ 轴之间发生概念混淆。务必分清 $x,y$ 是自变量可行域，而 $a,b$ 是最终所求的区域坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材线性规划的拓展应用，利用量词“恒成立”将自变量的取值域转化为参数的不等式边界，是典型的高考创新压轴小题。
2. 结论推广：若平面凸多边形可行域的顶点集为 $\{V_1,V_2,\dots ,V_m\}$，则线性式 $\vec{\omega }\cdot \vec{x}⩽C$ 恒成立的充要条件是 $\forall i\in \{1,2,\dots ,m\},\vec{\omega }\cdot V_i⩽C$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划