2008-浙江卷理-21 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上的最值（含参讨论）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=\sqrt{x}(x-a)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 设 $g(a)$ 为 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值. ① 写出 $g(a)$ 的表达式； ② 求 $a$ 的取值范围，使得 $-6⩽g(a)⩽-2$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：写出定义域 $x\in [0,+\infty )$，求导得到 $f^{\prime }(x)=\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}$。根据分子 $3x-a$ 的零点 $\frac{a}{3}$ 与 0 的大小关系，对 $a⩽0$ 和 $a>0$ 进行分类讨论确定单调区间。
2. 第二问 ①：依据第一问的单调性，对极值点 $\frac{a}{3}$ 是否落在闭区间 $[0,2]$ 内进行分类讨论（即 $a⩽0$、 $0<a⩽6$、 $a>6$），分别找出各段上的极小值或端点值作为最小值 $g(a)$。
3. 第二问 ②：将 $-6⩽g(a)⩽-2$ 代入各段对应的 $g(a)$ 表达式中分别求解不等式组，最后求各段解集的并集。

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$g(a)$ 的表达式为：$g(a)=\{\begin{array}{ll}0,& a⩽0\\ -\frac{2a\sqrt{3a}}{9},& 0<a⩽6\\ \sqrt{2}(2-a),& a>6\end{array}$② 要

✍【详细解析】

Abstract

解：函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,+\infty )$。 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{a}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}(x>0)$。

(1) ① 当 $a⩽0$ 时，对任意 $x>0$，恒有 $3x-a>0⟹f^{\prime }(x)>0$。 此时函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。 ② 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=\frac{a}{3}$。 当 $x\in \left(0,\frac{a}{3}\right)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减； 当 $x\in \left(\frac{a}{3},+\infty \right)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 综上所述：

• 当 $a⩽0$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $[0,+\infty )$，无单调递减区间；
• 当 $a>0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[0,\frac{a}{3}\right]$，单调递增区间为 $\left[\frac{a}{3},+\infty \right)$。

(2) ① 当 $a⩽0$ 时， $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，最小值在左端点取得： $g(a)=f(0)=0$ 当 $0<a⩽6$ 时，极小值点 $\frac{a}{3}\in (0,2]$，最小值在极小值点处取得： $g(a)=f\left(\frac{a}{3}\right)=\sqrt{\frac{a}{3}}\left(\frac{a}{3}-a\right)=-\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$ 当 $a>6$ 时， $\frac{a}{3}>2$， $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减，最小值在右端点取得： $g(a)=f(2)=\sqrt{2}(2-a)$ 综上所述， $g(a)$ 的表达式为： $g(a)=\{\begin{array}{ll}0,& a⩽0\\ -\frac{2a\sqrt{3a}}{9},& 0<a⩽6\\ \sqrt{2}(2-a),& a>6\end{array}$

② 要使 $-6⩽g(a)⩽-2$，由于 $a⩽0$ 时 $g(a)=0$ 不合题意，故只需讨论以下两种情况： 情景一：当 $0<a⩽6$ 时， $-6⩽-\frac{2a\sqrt{3a}}{9}⩽-2⟹9⩽a\sqrt{3a}⩽27$ 两边平方得： $81⩽3a^3⩽729⟹27⩽a^3⩽243⟹3⩽a⩽3\sqrt[3]{9}$。 因为 $3\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{243}>\sqrt[3]{216}=6$，结合 $0<a⩽6$，此段解集为 $[3,6]$。

情景二：当 $a>6$ 时， $-6⩽\sqrt{2}(2-a)⩽-2⟹2⩽\sqrt{2}(a-2)⩽6⟹\sqrt{2}⩽a-2⩽3\sqrt{2}$ 解得 $2+\sqrt{2}⩽a⩽2+3\sqrt{2}$。 因为 $2+3\sqrt{2}\approx 6.24>6$，结合 $a>6$，此段解集为 $(6,2+3\sqrt{2}]$。

将两段解集求并集，得 $a$ 的取值范围是 $[3,2+3\sqrt{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数单调性判定与闭区间最值的动态边界划分；无理分式不等式不等方向的保号平方。
2. 核心方法：轴动区间定分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 描述单调区间时，需注意无理函数在端点 $x=0$ 处的连续性，应写成闭区间。
• 在第二问求解 $a\sqrt{3a}⩽27$ 时，切忌漏掉与大前提 $a⩽6$ 取交集，必须通过精确比较 $3\sqrt[3]{9}$ 与 6 的大小来完成区间截断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版选修2-2中利用导数工具寻找非线性复合函数极值与最值的典型设问，考查含参分类讨论的完备性。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=x^m(x-a)(m>0)$ 的函数，其导数零点（极值点）恒为 $x=\frac{ma}{m+1}$，这是此类“幂函数乘线性项”模型的通用特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式