2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式

本题导读

考查分段不等式。$f(1)=3$；$x⩾0$ 段 $x^2-4x+3>0$，$x<0$ 段 $x>-3$，并集为 $(-3,1)\cup (3,+\infty )$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x+6,& x⩾0,\\ x+6,& x<0,\end{array}$ 则不等式 $f(x)>f(1)$ 的解集是 ()

A. $(-3,1)\cup (3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-3,1)\cup (2,+\infty )$

C. $(-1,1)\cup (3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-3)\cup (1,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(1)=1-4+6=3$。
2. $x⩾0$：$x^2-4x+6>3\Rightarrow x^2-4x+3>0\Rightarrow x<1$ 或 $x>3$，取 $[0,1)\cup (3,+\infty )$。
3. $x<0$：$x+6>3\Rightarrow x>-3$，取 $(-3,0)$。并集 $(-3,1)\cup (3,+\infty )$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f(1)=1^2-4\times 1+6=3$。 当 $x⩾0$ 时，$x^2-4x+6>3$，即 $x^2-4x+3>0$，解得 $x<1$ 或 $x>3$，结合 $x⩾0$ 得 $x\in [0,1)\cup (3,+\infty )$。 当 $x<0$ 时，$x+6>3$，解得 $x>-3$，得 $x\in (-3,0)$。 综上，解集为 $(-3,1)\cup (3,+\infty )$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与不等式求解

核心方法：求 $f(1)$ + 分段解不等式并取并集

避坑指南：$x⩾0$ 段解出的 $x<1$ 要与 $x⩾0$ 取交得 $[0,1)$，开闭端点逐段核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数不等式是函数模块常考题。

结论推广：分段解不等式后按定义域截断，再取并集。

方法推广：$f(1)$ 用第一段公式算，$f(x)>f(1)$ 的解集是两段解集的并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程