2008-湖北卷文-02 单-二项式展开常数项

本题导读

通项含 $x^{30-5k}$，令 $30-5k=0$ 得 $k=6$，系数 ${\mathrm{C}}_{10}^6\cdot 2^4\cdot 2^{-6}=\frac{105}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） ${\left(2x^3-\frac{1}{2x^2}\right)}^{10}$ 的展开式中常数项是()

A. $210$　　　　　　B. $\frac{105}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $-105$

🔍【思路分析】

破题导航

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(2x^3{)}^{10-k}{\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}^k$，$x$ 的指数 $30-5k=0$，$k=6$.

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(2x^3{)}^{10-k}{\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_{10}^k{2}^{10-2k}{x}^{30-5k}$. 令 $30-5k=0$，得 $k=6$. 常数项为 $(-1{)}^6{\mathrm{C}}_{10}^6{2}^{10-12}={\mathrm{C}}_{10}^6\cdot 2^{-2}=210\times \frac{1}{4}=\frac{105}{2}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的常数项

核心方法：写通项令 $x$ 指数为零定 $k$，代回系数

避坑指南：底数是 $2x^3-\frac{1}{2x^2}$，分母里的 $2$ 与分子的 $2$ 各自成 $2$ 的幂，系数合并时别丢 $2^{-2}$；符号 $(-1{)}^6$ 为正别惯性写负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：课本二项式定理通项公式的直接应用

结论推广：底数含 $\frac{1}{x^2}$ 时指数和为 $3(10-k)-2k$，一般地 $x^m$ 与 $x^{-n}$ 同现，常数项条件为 $mk=n{k}_0$ 型方程

方法推广：通项写出后把系数与 $x$ 的幂分开管理，指数归指数、系数归系数，两线并行防混

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-11 填-二项式系数
• 2010-湖北卷文-11 填-二项式定理指定项
• 2014-湖北卷理-02 单-二项式通项
• 2011-湖北卷理-11