2010-湖北卷文-11 填-二项式定理指定项

本题导读

考查二项式定理。通项中 $(-x^2{)}^k$，令 $2k=4$ 得 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_{10}^2(-1{)}^2=45$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 在 $(1-x^2{)}^{10}$ 的展开中，$x^4$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(-x^2{)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k(-1{)}^k{x}^{2k}$。
2. 令 $2k=4$ 得 $k=2$。
3. 系数 $={\mathrm{C}}_{10}^2(-1{)}^2=45$。

✅【答案】

点击查看答案

$45$

✍【详细解析】

Abstract

$(1-x^2{)}^{10}$ 的展开式通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(-x^2{)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k(-1{)}^k{x}^{2k}.$ 要得到 $x^4$，需 $2k=4$，即 $k=2$. 故 $x^4$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_{10}^2\cdot (-1{)}^2=45.$ 故答案为 $45$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理求指定项系数

核心方法：由通项 $T_{k+1}=C_{10}^k(-x^2{)}^k$ 令 $2k=4$ 得 $k=2$

避坑指南：$(1-x^2{)}^{10}$ 展开式中 $x^4$ 项为 $C_{10}^2(-x^2{)}^2=45x^4$，系数 $45$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式展开的指定项用通项公式定位。

结论推广：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；令幂指数等于目标次数反解 $k$。

方法推广：含负号的二项式要连同符号一起看，系数是”带符号的系数”而非 $C_n^k$ 本身。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项
• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数
• 2012-重庆卷文-04 单-二项展开式的系数