2008-湖北卷文-10 单-嫦娥轨道椭圆离心率

本题导读

$|PF|=a_1-c_1=a_2-c_2$（② 对）；轨道 $\mathrm{I}$ 更扁，$e_1>e_2$，即 $c_1{a}_2>a_1{c}_2$（③ 对）.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 $\mathrm{I}$ 绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 $\mathrm{II}$ 绕月飞行，最终卫星在 $P$ 点第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道 $\mathrm{III}$ 绕月飞行．若用 $2c_1$ 和 $2c_2$ 分别表示椭圆轨道 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 的焦距，用 $2a_1$ 和 $2a_2$ 分别表示椭圆轨道 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 的长轴的长，给出下列式子： ①$a_1+c_1=a_2+c_2$；②$a_1-c_1=a_2-c_2$；③$c_1{a}_2>a_1{c}_2$；④$\frac{c_1}{a_1}<\frac{c_2}{a_2}$． 其中正确式子的序号是()

A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

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$P$ 在两椭圆上且 $F$ 是公共焦点，$P$ 又是两条长轴的上端点，故 $|PF|$ 分别等于 $a_1-c_1$ 与 $a_2-c_2$；由图 $\mathrm{I}$ 比 $\mathrm{II}$ 扁长，离心率更大.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【裁定】原卷首句印”P 轨进入”，丢”变”字，按”变轨进入”录入；原卷印”椭轨道 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$“，丢”圆”字，按”椭圆轨道”录入. 由图，$P$ 是两个椭圆的公共上顶点，$F$ 是公共焦点，且 $P$ 距 $F$ 较近，故对两条轨道都有$|PF|=a-c$. 于是 $a_1-c_1=|PF|=a_2-c_2$，② 正确；而 $a_1+c_1\ne a_2+c_2$（否则 $a_1=a_2$，两椭圆重合），① 错误. 轨道 $\mathrm{I}$ 包住轨道 $\mathrm{II}$ 且在 $P$、$F$ 处相接，$\mathrm{I}$ 更扁长，故离心率 $e_1=\frac{c_1}{a_1}>e_2=\frac{c_2}{a_2}$，即 $c_1{a}_2>a_1{c}_2$，③ 正确、④ 错误. 正确式子为②③，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与离心率

核心方法：抓住公共点与公共焦点，$|PF|=a-c$ 建立两轨道的联系，再用”扁 $\Rightarrow e$ 大”

避坑指南：$P$ 是长轴端点且距 $F$ 近，$|PF|=a-c$ 而非 $a+c$；椭圆越扁离心率越大，③④两个不等式方向别写反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：航天情境与椭圆定义结合的原创情境题，2008 年”嫦娥一号”热点

结论推广：两椭圆共焦点共顶点时 $|P_{\text{近}}|=a-c$；离心率比较可借助图形的”扁”与”长”

方法推广：情境题剥离背景后就是定义与图象：抓住”公共点、公共焦点、谁包含谁”三个要素

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷理-10
• 2015-湖北卷文-09 单-双曲线离心率
• 2013-湖北卷文-02 单-双曲线焦距
• 2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率