2008-湖北卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合运算与常用逻辑用语的综合应用。核心意图是利用集合之间的包含关系来判定元素从属命题的充分必要性。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 若非空集合 $A,B,C$ 满足 $A\cup B=C$，且 $B$ 不是 $A$ 的子集，则 ()

A. “$x\in C$”是“$x\in A$”的充分条件但不是必要条件

B. “$x\in C$”是“$x\in A$”的必要条件但不是充分条件

C. “$x\in C$”是“$x\in A$”的充要条件

D. “$x\in C$”既不是“$x\in A$”的充分条件也不是“$x\in A$”必要条件

🔍【思路分析】

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1. 分析 “$x\in A⟹x\in C$”：根据 $A\cup B=C$ 得到 $A$ 与 $C$ 的包含关系，从而确定必要性。
2. 分析 “$x\in C⟹x\in A$”：根据 $B$ 不是 $A$ 的子集判定是否存在反例，从而确定充分性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A\cup B=C$，根据并集的定义可知 $A\subseteq C$。 因此，若 $x\in A$，则必有 $x\in C$，即命题 “$x\in A⟹x\in C$” 成立。 所以，“$x\in C$” 是 “$x\in A$” 的必要条件。

又因为 $B$ 不是 $A$ 的子集（$B⊈A$），所以必然存在某个元素 $x_0\in B$ 且 $x_0\notin A$。 由于 $x_0\in B$，则 $x_0\in A\cup B=C$。 这说明存在元素 $x_0\in C$ 但 $x_0\notin A$，即命题 “$x\in C⟹x\in A$” 不成立。 所以，“$x\in C$” 不是 “$x\in A$” 的充分条件。

综上所述，“$x\in C$” 是 “$x\in A$” 的必要不充分条件。 正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合包含关系与小范畴命题的对应模型（若 $A\subseteq C$，则 $x\in A$ 是 $x\in C$ 的充分不必要条件，反之 $x\in C$ 是 $x\in A$ 的必要不充分条件）。
2. 核心方法：集合包含法。将充分必要条件问题转化为集合圈层大小（包含关系）的判定。
3. 避坑指南：容易将“谁是谁的条件”的主谓语位置弄反。题目问的是“ $x\in C$ 是 $x\in A$ 的什么条件”，应将 $x\in A$ 视为条件去推 $x\in C$（必要性），将 $x\in C$ 视为条件去推 $x\in A$（充分性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是集合论基础与数理逻辑小切口的经典结合，考查对逻辑充要性在子集层面定义的深度理解。
2. 结论推广: 对于任意三个集合，若 $A\cup B=C$，则 “$x\in C$” 是 “$x\in A\cap B$” 的必要不充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-上海卷理-02 填-集合
• 2009-上海卷理-16 单-集合